10.8圖着色(Graph Coloring)

引入

四色猜想

染色問題

用n中顏色給一副無重邊和自環的圖染色，要求任意一條邊的端點顏色不同；滿足情況下使用的最少顏色數稱為圖G的着色數(chromatic number of G)，記為X(G).

四色定理:

任何平面圖都能用4種顏色着色(計算機證明)

五色定理:

任何平面圖都能用5種顏色着色

五色定理證明:

引理:所有平面圖都至少有一個頂點度數≤5
證明略(平面圖不同胚於\(K_5\))

染色多項式(Chromatic Polynomials)

定義\(P_G(n)\)表示對圖G用n種顏色進行染色的方法數(n≥0)，\(P_G(n)\)稱為G的染色多項式(chromatic polynomial)

可見:最小的使得染色多項式為正數的n值就是X(G)

定理1：

如果圖G由互不連通的子圖\(G_1,G_2...G_m\)構成，那么有:

拓展：

商圖(Quotient graph):無重邊的圖G，通過將按某種規則划分等價類之后得到商圖

定理2：

通過一條邊e來構建圖G的子圖:

\(G_e\)：通過刪除邊e得到的子圖，通常會得到兩個互不連通的圖
\(G^e\)：通過合並e兩邊的端點得到的G的商圖
那么有:

證明略

k階臨界圖

稱圖G是k階臨界圖/被k階染色的(chromatically k-critical)，指的是X(G)=3，且其任意真子圖G'的染色數X(G')❤️