計算機圖形學——圓的掃描轉換（基本光柵圖形算法）

       與直線的生成類似，圓弧生成算法的好壞直接影響到繪圖的效率。本篇博客將討論圓弧生成的3個主要算法，正負法、Bresenham法和圓的多邊形迫近法，在介紹算法時，只考慮圓心在原點，半徑為R的情況。

一、正負法

1、基本原理 

假設已選取Pi-1為第i-1個像素，則如果Pi-1在圓內，就要向圓外方向走一步；若已在圓外就要向圓內走一步。
總之，盡量貼近圓的輪廓線。

2、正負法的具體實現

1）圓的表示：設圓的圓心為(0,0),半徑為R，則圓的方程為：
      F(x,y)=x²+y²–R²=0  
當點(x,y)在圓內時，F(x,y)<0。
當點(x,y)在圓外時，F(x,y)>0。

2）實現步驟
第1步：x₀=0，y₀=R
第2步：
 求得Pi(x_i,y_i)后找點P_i+1的原則為：

當P_i在圓內時(F(xi,yi)≤0)，要向右走一步得P_i+1，這是向圓外方向走去。取x_i+1= x_i+1, y_i+1= y_i
當P_i在圓外時(F(xi,yi)>0)，要向下走一步得P_i+1，這是向圓內方向走去，取x_i+1= x_i, y_i+1= y_i-1

用來表示圓弧的點均在圓弧附近且 F(xi, yi)時正時負

假設已經得到點（x_i, y_i），則容易算出F(x_i, y_i)，即確定了下一個點（x_i＋1, y_i＋1），則如何計算F(x_i+1, y_i+1)，以確定下下個點（x_i＋2, y_i＋2）？

分為兩種情況：
右走一步后：x_i+1=x_i+1，y_i+1=y_i，此時：
F(x_i+1, y_i+1)=x_i+1²+y_i²-R²  =x_i²+y_i²-R²+2x_i+1 = F(x_i, y_i)+2x_i+1

下走一步后：x_i+1=x_i，y_i+1=y_i-1， 此時：
F(x_i+1, y_i+1)=x_i²+（y_i-1)²-R²   = F(x_i, y_i)-2y_i+1

由此可得：

確定了F(xi+1, yi+1)之后，即可決定下一個點(xi+2, yi+2)，選擇道理同上。

二、Bresenham 生成圓弧的算法

Bresenham算法是最常用的畫圓的算法之一假設圓心(0,0)為原點，考慮AB弧的畫法，顯示一個整圓時，只要在顯示AB上任一點(x,y)時，同時顯示在圓周上其它七個對稱點(y,x), (y,-x), (x,-y), (-x,-y),(-y,-x), (-y,x), (-x,y)。

 1、基本原理

考慮AB弧段，x每步增加1，從 x=0開始，到x=y結束。
即有：
    x_i+1=x_i+1  相應的y_i+1則在兩種可能中選擇 y_i+1=y_i (H_i點)或者 y_i+1=y_i-1(L_i點)
所以：
   選擇的原則是確定這兩個點哪一個更接近於圓弧。

 即：設Pi-1是已選中的一個表示圓弧上的點，下一個點應從H_i或L_i中選擇。設H_i和L_i兩點的坐標分別為(x_hi, y_hi)和(x_li, y_li)

設R為弧AB的半徑，記點P到原點的距離的平方與圓的半徑的平方之差為D(P)，即

 

 2、遞推公式

   d_i決定的是(x_i, y_i)，即Hi和Li哪個被選中
   d_i+1則決定的是(x_i+1, y_i+1)，即H_i+1和L_i+1哪個被選中

當d_i<0時,點Hi被選中, x_i= x_i-1+1， y_i=y_i-1，由 (3.13)和(3.14)得
                  d_i+1= d_i+ 4x_i+2= d_i+ 4x_i-1+6                  
當d_i≥0時,點Li被選中, xi= xi-1+1，yi= yi-1-1，由(3.13)和(3.14)得
                d_i+1=d_i+4x_i-4y_i-1+6=d_i+4(x_i-1-y_i-1)+10

3、代碼實現

 根據上面得到的遞推表達式，可以獲得該算法生成弧AB的代碼如下：

void bresenham_arc(Graphics g,int radius)
{
    int x,y,d;
    x = 0;
    y = radius;
    d = 3-2*radius;//d1
    while (x < y)
    {
        g.drawLine(x, y, x, y);
        if (d<0)
            d=d+4*x+6;
        else
        {
            d=d+4*(x-y)+10;
            y--;
        }
        x++;
    }
    if (x == y)
        g.drawLine(x,y,x,y);
}

Bresenham算法在候選的兩個像素中，總是選定離圓弧最近的像素為圓弧的一個近似點，因此，Bresenham算法比正負法決定的像素更合理。

三、圓的多邊形迫近法

 1、基本思想

       將整個圓弧等分成一段段的短直線，用這些短直線形成的折線來逼近圓弧。為了獲得這些短直線，只需按一定的方式計算給定圓弧軌跡上一系列頂點，短直線的繪制可采用直線的生成算法，如果將圓弧分割的足夠密，則短直線將足夠短，形成的折線將可以和圓弧接近到任意程度，因此在允許的誤差范圍內，可以用顯示折線代替顯示圓弧。

2、圓弧的離散生成

設圓的圓心為c(0,0),半徑為R。假設圓弧的起始角和終止角分別為α₀和α₁，把圓弧分割為n份，則兩個頂點之間的夾角為 α=（ α₁ - α₀ ）/n 。

設內接正多邊形的一個頂點為P_i(x_i,y_i)，cP_i的幅角為θ_i，則
          x_i=Rcosθ_i
          y_i=Rsinθ_i
頂點P_i+1的坐標為
  x_i+1=Rcos(θ_i+α)= x_icosα-y_isinα
  y_i+1=Rsin(θ_i+α)= x_isinα+y_icosα

或表示為矩陣形式：

 

 計算一個點（x_i+1,y_i+1）只要作四次乘法。

 

 由此決定了一系列頂點，兩個定點確定一條直線，n條直線逼近了個整個圓。