光柵圖形學（一）：直線段的掃描轉換算法

前言

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　　在數學上，理想的直線是沒有寬度的，它是由無數個點構成的集合。對直線進行光柵化時，只能在顯示器說給定的有限個像素組成的矩陣中，確定最佳逼近於該直線的一組像素，並且按掃描線順序。

　　本節介紹繪制線寬為一個像素的直線的三個常用算法：數值微分，中點畫線和Bresenham算法。

 

數值微分法

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　　已知過端點 P₀(x₀, y₀)，P₁(x₁, y₁) 的直線段 L(P₀, P₁)；直線斜率為 k = (y₁ - y₀) / (x₁ - x₀)。

　　於是 y_i+1 = kx_i+1 + b。

　　於是，x每增加1，y就增加k。畫點的時候還需要判斷 int(y+0.5) 向下取整。

// 數值微分法，偽代碼
void DDAline(int x0, int y0, int x1, int y1) {
    int dx, dy, x=x0, y=y0;
    double k;
    dx = x0 - x1; dy = y0 - y1;
    k = dy / dx;
    draw(x, y)
    while (x <= x1) {
        x += 1;
        y += k;
        draw(x, int(y+0.5));
    }
}

　　效果圖如下(0,1)(5, 4)：

　　

 

中點畫線法

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　　假設線段 F(M) = ax + by + c = 0。（a=y₀-y₁; b=x₁-x₀; c=x₀y₁-x₁y₀）。

　　中點畫線法的思想就是對於點（x_p，y_p）的下一個點 M（x_p+1，y+0.5），拿這個中點和實際點比較，如果實際點在中點上方（F(M) < 0），則取（xp+1，yp+1）為下一個點。如果實際點在中點下方（即中點代入直線方程的值大於0，F(M) >= 0）,則取（xp+1， yp）。

　　為了加速計算，我們通常采用增量的方法。

　　假設從（x_p，y_p）開始畫線，d的初值d₀ = F（x₀+1， y₀+0.5）= F（x₀，y₀）+a+0.5。（d = a+0.5b）

1. 若 d>=0 , 即中點代入原直線方程中的值大於0，即中點在目標直線上方，我們應該取下面的點（xp+1， yp）。判斷下一個像素的位置時，應計算 d = F（xp+2，yp+0.5） = d + a，增量為 a。
2. 若 d < 0，即中點在目標直線的下方，即取中點上面的點（xp+1，yp+1）。判斷下一個像素的位置時，應計算 d = F（xp+2， yp+1.5） = d + a + b，增量為 a+b。

　　因為我們只需要知道d的正負，所以可以調整 d‘ = 2a + b。

void Midpoint(int x0, int y0, int x1, int y1) {
    int a, b, d1, d2, d, x, y;
    a = y0 - y1;
    b = x1 - x0;
    d = 2*a + b;
    d1 = 2*a, d2 = 2 * (a+b);
    x = x0, y = y0;
    draw(x, y);
    while (x < x1) {
        if (d < 0)
            {x++, y++, d+=d2;}
        else
            {x++; d+=d1;}
        draw(x, y);
    }
}

 　　效果如下圖（0，1）（5， 4）：

　　

 

Bresenham算法

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　　Bresenham算法也是采用增量的方法，y每次累加k，超過0.5的中點位置就取上面的點，然后增量減一。如果我們增量的起始值設置為 d-0.5。就可以直接和0比較。

　　每次和0.5比較都比較麻煩，所以假設一個格子的寬度為2dx，高為2dx，那么一個 k 就是2dy。

　　所以如果我們設置起始增量為 -dx（-0.5*2dx）。每次移動單位為1的長度，增量就增加2dy，然后拿着這個增量和 0 比較，如果大於0，取上面的點，然后增量要減少 2dx。

void IntegerBresenham(int x0, int y0, int x1, int y1) {
    int x, y, dx, dy;
    dx = x0-x1, dy = y0 - y1, e = -dx;
    x = x0, y = y0;
    for(i=0; i<=dx; ++i) {
        draw(x, y);
        x++, e=e+2*dy;
        if (e >= 0) {y++; e = e-2*dx;}
    }
}

 

　　下面是效果圖：
　　

 

　　

 完整代碼

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import matplotlib.pyplot as plt 
from matplotlib.ticker import MultipleLocator

# 數值微分法
def DDA(x0, y0, x1, y1):
    dy = y0 - y1
    dx = x0 - x1
    k = dy / dx
    x = x0
    y = y0

    a = []
    b = []
    while (x <= x1):
        a.append(x)
        x += 1
        b.append(int(y+0.5))
        y = y+k
    plt.scatter(a, b, color='r')

# 中點畫線法
def midpoint(x0, y0, x1, y1):
    a = y0 - y1
    b = x1 - x0
    d = 2 * a + b
    d1 = 2 * a
    d2 = 2 * (a + b)
    print(a, b, d1, d2, d)
    x = x0
    y = y0

    a = [x0]
    b = [y0]
    while x < x1:
        if d < 0:
            x += 1
            y += 1
            d += d2
        else:
            x += 1
            d += d1
        a.append(x)
        b.append(y)
    plt.scatter(a, b, color='r')

def Bresenham(x0, y0, x1, y1):
    dx = x1 - x0
    dy = y1 - y0
    e = -dx
    x = x0
    y = y0

    a = []
    b = []
    while (x <= x1):
        a.append(x)
        b.append(y)
        x += 1
        e = e + 2 * dy
        if e >= 0:
            y += 1
            e = e - 2 * dx
    plt.scatter(a, b, color='r')

x_target = [0, 5]
y_target = [1, 4]

ax = plt.subplot(111);
plt.plot(x_target, y_target)
ax.xaxis.grid(True, which='major')
ax.yaxis.grid(True, which='major')
ax.xaxis.set_major_locator(MultipleLocator(1))
ax.yaxis.set_major_locator(MultipleLocator(1))

# DDA(0, 1, 5, 4)
# midpoint(0, 1, 5, 4)
Bresenham(0, 1, 5, 4)
plt.show()