光柵圖形學（二）：圓弧的掃描轉換算法

圓的特征

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　　圓被定義為給定中心位置（x_p，y_p）的距離為 r 的點集。圓心位於原點的圓有4條對稱軸。

• x=0
• x=y
• x=-y
• y=0

　　若已知圓弧上一點（x，y），可以得到其關於4條對稱軸的其他7個點，這種性質被稱為八對稱性。

　　因此只要掃描轉換1/8圓弧，就可以用八對稱性求出整個圓弧的像素集。

 

中點畫圓法

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　　構造函數 F（x，y） = x² + y² - R²，如果點在圓內，F<0；否則，F > 0。

　　對於初始點（x_p，y_p），需要考慮的是中點 M（x_p+1，y_p-0.5），即 F（M）=（x_p+1）²+（y_p-0.5）² - R²。（給定點 [0, r]，則 d=1.25-r）

　　（1）若 d<0， 即中點在圓內，目標點在在上半格，而且下一個判別式 d1=F（x_p+2， y_p-0.5）= d+2x_p+3。

　　（2）若 d>0， 即中點在圓外，目標點在下半格，而且下一個判別式 d2 = F（x_p+2， y_p-1.5）= d+2(x_p-y_p)+5。

// 偽代碼
void MidPointCircle(int r) {
    int x, y;
    float d;
    x = 0; y = r;
    d = 1.25 - r;
    draw(x, y);
    while (x <= y) {
        if (d < 0)
            d += 2*x+3;
        else
            {d+=2*(x-y)+5; y--;}
        x++;
        draw(x, y);
    }
}

效果如下：

 

完整代碼

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import numpy as np 
import matplotlib.pyplot as plt 
from matplotlib.ticker import MultipleLocator

def MidPointCircle(r):
    x = 0; y = r
    d = 1.25 - r
    a = [x]; b = [y]
    while x <= y:
        if d < 0:
            d += 2*x+3
        else:
            d += 2*(x-y)+5
            y -= 1
        x += 1
        a.append(x)
        b.append(y)
    # 利用對稱性把其余七個八分圓補全
    for i in range(len(a)):
        a.append(b[i])
        b.append(a[i])
    for i in range(len(a)):
        a.append(a[i])
        b.append(-b[i])
    for i in range(len(a)):
        a.append(-a[i])
        b.append(b[i])
    plt.scatter(a, b, color='r')


# 畫圓
ax = plt.figure().add_subplot(111)
ax.set_xlim(-25, 25)
ax.set_ylim(-25, 25)
ax.xaxis.grid(True)
ax.yaxis.grid(True)
ax.xaxis.set_major_locator(MultipleLocator(1))
ax.yaxis.set_major_locator(MultipleLocator(1))
x = y = np.arange(-25, 25, 0.1)
x, y = np.meshgrid(x, y)
plt.contour(x, y, x**2+y**2, [400])

MidPointCircle(20)

plt.show()