快速冪詳解

快速冪的用途

顧名思義，快速冪就是很快速的冪運算，試想當你面對一個問題：求abab的時候，你的第一反應是開long long然后用for循環一點一點求。那么你就已經會了冪運算的O(b)算法。按常理來講，這樣的算法已經夠用了，但是遇到一些卡時間的題目的時候還是會T，於是快速冪應運而生。簡單地說，快速冪就是一種復雜度為O(logb)的求冪運算的算法。

快速冪的實現原理

對於a^b，快速冪的時間復雜度是O(logb)的。一個整數可以被拆分成若干個2^k的和。可以把b二進制分解，成為若干個2^k的和，也就是將b轉換為2進制按權相加式。

b = x₀2⁰ + x₁2¹ + x₂2² + … + x_n-12^n-1。

再由a^b = a^b = a^(x₀*2⁰ + x₁*2¹ + x₂*2² + … + x_n-1*2^n-1)，可以減少乘法操作的次數，先是基數2¹~2ⁿ，先進行了n次乘法，再由有效位(b的二進制形式中，數碼為1的位)的位數m，額外進行m-1次的計算，則總共計算了n+m-1次，即得到計算次數不超過log₂c + m – 1次。從原來的乘n次變為現在的最多乘2log₂n次，因此，時間復雜度由原來的O（b）減小為現在的O（log₂b）。

舉個例子：

求解問題： 3⁴²。

第一步，將42二進制拆分：(42)₁₀=(101010)₂=1×2⁵+0×2⁴+⋯+0×2⁰

那么， 3⁴²就變成了：3⁴²=3^{1×32+0×16+1×8+0×4+1×2+0×1} =3³²*3⁸*3²

快速冪的迭代寫法

int qpow(int a,int b)

{

    int ret=1;

    while(b>0)

    {

        if(b&1)

            ret*=a;

        a*=a;

        b>>=1;

        }

    }

    return ret;

}

     通常，由於int類型以及long long類型的數值范圍限制，通常遇到的OJ題目需要對運算結果取模：

快速冪取模

（a*b）%m = （（a%m）*（b%m））%m；

其實快速冪取模也是用到這個

那么根據上面的定理可以推導出另一個定理：

(a^b) mod c = (a * a * a........)%c =  ((a%c)*(a%c)*(a%c)*.........)%c = (a%c)^b %c;

這就是快速冪取模

代碼如下：

 int pow_mod(int a ,int b)

 {

     int ans = 1 ;

     int base = a % c;

         while(b>0)

     {

           if(b&1!=0)

             ans = (ans *base)%c;

     }

      base = (base*base)%c;

     b >>= 1;

     return ans;

 }

快速冪的遞歸代碼實現

在求解a^b的時候

1）當b是奇數時，那么有 a^b = a * a^b

2）當b是偶數時，那么有 a^b = a^(b/2) * a^(b/2)

這個東西可以用遞歸來實現。代碼如下：

int qpow(int a,int b)

{

    if(!b)

        return 1;

    else if(b&1)

        return a*qpow(a,b-1);

    else

    {

        int t=qpow(a,b>>1);

        return t*t;

    }

}