C++生成完全二叉樹

C++生成完全二叉樹

2019-12-20

By Gauss

1.背景介紹

完全二叉樹是效率很高的數據結構，完全二叉樹是由滿二叉樹而引出來的。對於深度為K的，有n個結點的二叉樹，當且僅當其每一個結點都與深度為K的滿二叉樹中編號從1至n的結點一一對應時稱之為完全二叉樹。

2.特點：

 

葉子結點只可能在最大的兩層上出現,對任意結點，若其右分支下的子孫最大層次為L，則其左分支下的子孫的最大層次必為L 或 L+1；

 

出於簡便起見,完全二叉樹通常采用數組而不是鏈表存儲,其存儲結構如下:

 

var tree:array[1..n]of longint;{n:integer;n>=1}

 

對於tree[i]，有如下特點：

 

（1）若i為奇數且i>1，那么tree的左兄弟為tree[i-1]；

 

（2）若i為偶數且i<n，那么tree的右兄弟為tree[i+1]；

 

（3）若i>1，tree的父親節點為tree[i/2]；

 

（4）若2*i<=n，那么tree的左孩子為tree[2*i]；若2*i+1<=n，那么tree的右孩子為tree[2*i+1]；

 

（5）若i>n div 2,那么tree[i]為葉子結點（對應於（3））；

 

（6）若i<(n-1) div 2.那么tree[i]必有兩個孩子（對應於（4））。

 

（7）滿二叉樹一定是完全二叉樹，完全二叉樹不一定是滿二叉樹。

 

完全二叉樹第i層至多有2^（i-1）個節點，共i層的完全二叉樹最多有2^i-1個節點。

 

完全二叉樹的特點是：

 

1）只允許最后一層有空缺結點且空缺在右邊，即葉子結點只能在層次最大的兩層上出現；

 

2）對任一結點，如果其右子樹的深度為j，則其左子樹的深度必為j或j+1。 即度為1的點只有1個或0個

3.性質

如果一棵具有n個結點的深度為k的二叉樹，它的每一個結點都與深度為k的滿二叉樹中編號為1~n的結點一一對應，這棵二叉樹稱為完全二叉樹。

可以根據公式進行推導，假設n0是度為0的結點總數（即葉子結點數），n1是度為1的結點總數，n2是度為2的結點總數，則 ：

①n= n0+n1+n2 （其中n為完全二叉樹的結點總數）；又因為一個度為2的結點會有2個子結點，一個度為1的結點會有1個子結點，除根結點外其他結點都有父結點，

②n= 1+n1+2*n2 ；由①、②兩式把n2消去得：n= 2*n0+n1-1，由於完全二叉樹中度為1的結點數只有兩種可能0或1，由此得到n0=n/2 或 n0=(n+1)/2。

簡便來算，就是 n0=n/2，其中n為奇數時（n1=0）向上取整；n為偶數時（n1=1）向下取整。可根據完全二叉樹的結點總數計算出葉子結點數。

4.代碼實現

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int a[100001];
int buildtree(int n)
{
    memset(a,-1,sizeof(a));
    for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=i;
}
int firsts(int n)
{
    if(a[n]==-1) return 0;
    printf("%d ",a[n]);
    firsts(a[n]*2);
    firsts(a[n]*2+1);
}
int main()
{
    int T;
    int n,m;
    cin>>T;
    while(T--)
    {
        scanf("%d",&n);
        buildtree(n);
        firsts(1);
    }
    return 0;
}

知識來源：百度百科