高斯求積公式

目錄

• 數值積分
• 正交多項式與高斯點
• 例子
  • Gauss-Legendre
  • Gauss-Chebyshev
  • Gauss-Radau
  • Gauss-Labotto

數值積分

考慮帶權的積分如下：

\[\int_a^bf(x)w(x)dx \]

其中 \(w(x) \geq 0, \int_a^bw(x)dx > 0\) 稱為權。一般的數值積分公式有如下的形式：

\[\int_a^bw(x)f(x)dx \approx \sum_{i=0}^nw_if(x_i) \]

即用\(n+1\) 個函數值的加權和來近似積分的值。

以\(x_i(i=0,1,\cdots,n)\) 為節點的拉格朗日(Langrange)插值多項式為：

\[L_n(x)=\sum_{i=1}^nf(x_i)l_i(x) \]

\(l_i(x)\)是拉格朗日插值基函數，則：

\[f(x)=L_n(x)+R[f],\quad R[f]=\frac{1}{(n+1)!}f^{(n+1)}(\xi)(x-x_0)(x-x_1)\cdots(x-x_n) \]

\[\int_a^bw(x)f(x)dx=\left(\sum_{i=0}^n\int_a^bw(x)l_i(x)dx\right)f(x_i)+\int_a^bw(x)R[f]dx \]

一般我們取\(w_i =\sum_{i=0}^n\int_a^bw(x)l_i(x)dx\) ，則數值積分公式的誤差就是上式等號右側的第二項，當\(f(x)\) 是不超過\(n\) 次的多項式時，容易看出誤差為0。若數值積分公式對不超過\(k\) 次的多項式精確成立，我們就稱它的代數精度為\(k\) 。所以上述數值積分公式的代數精度至少為\(n\)。

數值積分公式中含有\(n+1\) 個\(w_i\) 和\(n+1\)個\(x_i\) ，共\(2n+2\) 個自由度，所以可以想象通過適當選取節點\(x_i\) ，它的代數精度最多可以為\(2n+1\) 。我們把具有\(2n+1\) 次代數精度的求積公式稱為高斯求積公(GaussianQuadrature)，其節點\(x_i(i=0,1,\cdots,n)\) 稱為高斯點。

正交多項式與高斯點

稱多項式\(p(x), q(x)\) （帶權）正交如果：

\[\int_a^bw(x)p(x)q(x)dx=0 \]

假設以\(x_i(i=0,1,\cdots,n)\) 為零點的多項式\(p(x)=(x-x_0)(x-x_1)\cdots(x-x_n)\) 與任何不超過\(n\)次的多項式正交，由多項式的帶余除法可知，對於不超過\(2n+1\)次的多項式\(f(x)\) ，有不超過\(n\) 次的多項式\(q(x), r(x)\) 使得：

\[f(x)=p(x)q(x)+r(x) \]

那么：

\[\int_a^bw(x)f(x)dx=\int_a^bw(x)p(x)q(x)dx+\int_a^bw(x)r(x)dx=\int_a^bw(x)r(x)dx=\sum_{i=0}^nw_ir(x_i) \]

又：

\[f(x_i)=p(x_i)q(x_i)+r(x_i)=r(x_i) \]

所以：

\[\int_a^bw(x)f(x)dx=\sum_{i=0}^nw_if(x_i) \]

通過這種方式，我們發現只要選取節點為正交多項式的零點就可以得到高斯求積公式。

例子

Gauss-Legendre

取\([a,b]=[-1,1],w(x)=1\)，由\({1,x,x^2,\cdots}\) 正交化得到的多項式稱為勒朗德(Legendre)多項式，一般記為\(P_n(x)\) 。我們只要選取節點為\(P_{n+1}(x)\) 的零點就可以得到高斯-勒朗德求積公式。

Gauss-Chebyshev

取\([a,b]=[-1,1],w(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)，由\({1,x,x^2,\cdots}\) 正交化得到的多項式稱為切比雪夫(chebyshev)多項式，一般記為\(T_n(x)\) 。我們只要選取節點為\(T_{n+1}(x)\) 的零點就可以得到高斯-切比雪夫求積公式。

Gauss-Radau

取\([a,b]=[-1,1]\) ，且固定\(x_0=-1\) ，取：

\[p(x)=p_{n+1}(x)+ap_n(x) \]

取合適的\(a\) 使得\(p(-1)=0\) ，\(x_1,x_2,\cdots,x_n\) 是\(p(x)\)剩余的零點，則對任意次數不超過\(2n\) 的多項式\(f(x)\) ：

\[f(x)=p(x)q(x)+r(x), \]

\(r(x)\) 的次數不超過\(n\) ，\(q(x)\) 的次數不超過\(n-1\) ，且\(f(x_i)=r(x_i)\) ，那么

\[\sum_{i=0}^nw_if(x_i)=\sum_{i=0}^nw_ir(x_i)=\int_{-1}^1w(x)r(x)dx=\int_{-1}^1w(x)f(x)-w(x)p(x)q(x)dx \]

其中：

\[\int_{-1}^1w(x)p(x)q(x)dx=\int_{-1}^1w(x)p_{n+1}(x)q(x)dx+a\int_{-1}^1w(x)p_n(x)q(x)dx=0 \]

於是有：

\[\int_{-1}^1w(x)f(x)dx=\sum_{i=1}^nw_if(x_i),\quad \forall f(x)\in P_{2n} \]

Gauss-Labotto

取\([a,b]=[-1,1]\) ，固定\(x_0=-1,x_n=1\)，取：

\[p(x)=p_{n+1}(x)+ap_{n}(x)+bp_{n-1}(x) \]

取合適的\(a,b\) 使得\(p(-1)=p(1)=0\) ，令\(x_1,x_2,\cdots,x_{n-1}\) 是\(p(x)\)剩余的零點，則對任意次數不超過\(2n-1\)的多項式\(f(x)\) ：

\[f(x)=p(x)q(x)+r(x),q(x)\in P_{n-2},r(x)\in P_n \]

同樣可以證明：

\[\int_{-1}^1w(x)f(x)dx=\sum_{i=1}^nw_if(x_i),\quad \forall f(x)\in P_{2n-1} \]