高斯求积公式

目录

• 数值积分
• 正交多项式与高斯点
• 例子
  • Gauss-Legendre
  • Gauss-Chebyshev
  • Gauss-Radau
  • Gauss-Labotto

数值积分

考虑带权的积分如下：

\[\int_a^bf(x)w(x)dx \]

其中 \(w(x) \geq 0, \int_a^bw(x)dx > 0\) 称为权。一般的数值积分公式有如下的形式：

\[\int_a^bw(x)f(x)dx \approx \sum_{i=0}^nw_if(x_i) \]

即用\(n+1\) 个函数值的加权和来近似积分的值。

以\(x_i(i=0,1,\cdots,n)\) 为节点的拉格朗日(Langrange)插值多项式为：

\[L_n(x)=\sum_{i=1}^nf(x_i)l_i(x) \]

\(l_i(x)\)是拉格朗日插值基函数，则：

\[f(x)=L_n(x)+R[f],\quad R[f]=\frac{1}{(n+1)!}f^{(n+1)}(\xi)(x-x_0)(x-x_1)\cdots(x-x_n) \]

\[\int_a^bw(x)f(x)dx=\left(\sum_{i=0}^n\int_a^bw(x)l_i(x)dx\right)f(x_i)+\int_a^bw(x)R[f]dx \]

一般我们取\(w_i =\sum_{i=0}^n\int_a^bw(x)l_i(x)dx\) ，则数值积分公式的误差就是上式等号右侧的第二项，当\(f(x)\) 是不超过\(n\) 次的多项式时，容易看出误差为0。若数值积分公式对不超过\(k\) 次的多项式精确成立，我们就称它的代数精度为\(k\) 。所以上述数值积分公式的代数精度至少为\(n\)。

数值积分公式中含有\(n+1\) 个\(w_i\) 和\(n+1\)个\(x_i\) ，共\(2n+2\) 个自由度，所以可以想象通过适当选取节点\(x_i\) ，它的代数精度最多可以为\(2n+1\) 。我们把具有\(2n+1\) 次代数精度的求积公式称为高斯求积公(GaussianQuadrature)，其节点\(x_i(i=0,1,\cdots,n)\) 称为高斯点。

正交多项式与高斯点

称多项式\(p(x), q(x)\) （带权）正交如果：

\[\int_a^bw(x)p(x)q(x)dx=0 \]

假设以\(x_i(i=0,1,\cdots,n)\) 为零点的多项式\(p(x)=(x-x_0)(x-x_1)\cdots(x-x_n)\) 与任何不超过\(n\)次的多项式正交，由多项式的带余除法可知，对于不超过\(2n+1\)次的多项式\(f(x)\) ，有不超过\(n\) 次的多项式\(q(x), r(x)\) 使得：

\[f(x)=p(x)q(x)+r(x) \]

那么：

\[\int_a^bw(x)f(x)dx=\int_a^bw(x)p(x)q(x)dx+\int_a^bw(x)r(x)dx=\int_a^bw(x)r(x)dx=\sum_{i=0}^nw_ir(x_i) \]

又：

\[f(x_i)=p(x_i)q(x_i)+r(x_i)=r(x_i) \]

所以：

\[\int_a^bw(x)f(x)dx=\sum_{i=0}^nw_if(x_i) \]

通过这种方式，我们发现只要选取节点为正交多项式的零点就可以得到高斯求积公式。

例子

Gauss-Legendre

取\([a,b]=[-1,1],w(x)=1\)，由\({1,x,x^2,\cdots}\) 正交化得到的多项式称为勒朗德(Legendre)多项式，一般记为\(P_n(x)\) 。我们只要选取节点为\(P_{n+1}(x)\) 的零点就可以得到高斯-勒朗德求积公式。

Gauss-Chebyshev

取\([a,b]=[-1,1],w(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)，由\({1,x,x^2,\cdots}\) 正交化得到的多项式称为切比雪夫(chebyshev)多项式，一般记为\(T_n(x)\) 。我们只要选取节点为\(T_{n+1}(x)\) 的零点就可以得到高斯-切比雪夫求积公式。

Gauss-Radau

取\([a,b]=[-1,1]\) ，且固定\(x_0=-1\) ，取：

\[p(x)=p_{n+1}(x)+ap_n(x) \]

取合适的\(a\) 使得\(p(-1)=0\) ，\(x_1,x_2,\cdots,x_n\) 是\(p(x)\)剩余的零点，则对任意次数不超过\(2n\) 的多项式\(f(x)\) ：

\[f(x)=p(x)q(x)+r(x), \]

\(r(x)\) 的次数不超过\(n\) ，\(q(x)\) 的次数不超过\(n-1\) ，且\(f(x_i)=r(x_i)\) ，那么

\[\sum_{i=0}^nw_if(x_i)=\sum_{i=0}^nw_ir(x_i)=\int_{-1}^1w(x)r(x)dx=\int_{-1}^1w(x)f(x)-w(x)p(x)q(x)dx \]

其中：

\[\int_{-1}^1w(x)p(x)q(x)dx=\int_{-1}^1w(x)p_{n+1}(x)q(x)dx+a\int_{-1}^1w(x)p_n(x)q(x)dx=0 \]

于是有：

\[\int_{-1}^1w(x)f(x)dx=\sum_{i=1}^nw_if(x_i),\quad \forall f(x)\in P_{2n} \]

Gauss-Labotto

取\([a,b]=[-1,1]\) ，固定\(x_0=-1,x_n=1\)，取：

\[p(x)=p_{n+1}(x)+ap_{n}(x)+bp_{n-1}(x) \]

取合适的\(a,b\) 使得\(p(-1)=p(1)=0\) ，令\(x_1,x_2,\cdots,x_{n-1}\) 是\(p(x)\)剩余的零点，则对任意次数不超过\(2n-1\)的多项式\(f(x)\) ：

\[f(x)=p(x)q(x)+r(x),q(x)\in P_{n-2},r(x)\in P_n \]

同样可以证明：

\[\int_{-1}^1w(x)f(x)dx=\sum_{i=1}^nw_if(x_i),\quad \forall f(x)\in P_{2n-1} \]