動態規划--礦工挖礦

動態規划三要素：邊界、最優子問題、狀態轉移方程；

問題描述：現有10個礦工，5個金礦，每個金礦有對應金子和需要開采的人數，問你最多能夠獲得多少金子？

這是一個典型的動態規划問題，動態規划的核心是如何將問題轉換為重疊的子問題，並且寫出狀態轉移方程。

首先我們定義相應的參數：

礦工個數：n=10

金礦個數：w=5

金子數量：g=[400,500,200,300,350]

需要人數：p=[5,5,3,4,4]

p[i]代表挖了第i個金礦所需人數，g[i]代表挖了第 i個金礦得到的金子數。令F(n,w)表示n個人挖w個金礦能夠得到的最大金子數。

當n<p[i]時，也就是說挖第i個金礦的人數不夠，那么此時可以獲得的最大金子數就是挖第i-1個金礦時的金子：

F(n,w)=F(n,w-1)

那么我們當n>p[i]時，有以下方程：

F(n,w)=max(F(n,w-1),F(n-p[i],w-1)+g[i])

 

表示n個人挖w個金礦能夠得到的最大金子數=最大值(n個人挖w-1個金礦，((n-p[i])個人挖w-1個金礦)+g[i]))

最終代碼：

n=10
w=5
g=[400,500,200,300,350]
p=[5,5,3,4,3]
def goldMining(n,w,g,p):
    #初始化數組，用於存儲信息，注意為了更好計算，共有11列，第一列作為輔助位
    dp = [[0 for _ in range(n+1)] for _ in range(w)]
    #邊界就是10個人只挖第1個金礦
    #[0, 0, 0, 0, 0, 400, 400, 400, 400, 400, 400]
    for i in range(1,n+1):
        if i<p[0]:
            dp[0][i]=0
        else:
            dp[0][i]=g[0]
    #依次遍歷金礦，人數
    for i in range(1,w):
        for j in range(1,n+1):
            #如果當前人數小於挖這座金礦的人數
            if j<p[i]:
                #則當前最大金礦就是挖前一個金礦的相應人數的值
                dp[i][j]=dp[i-1][j]
            else:
                #否則就用如下公式計算
                dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-p[i]]+g[i])
    return dp

dp=goldMining(n,w,g,p)
for i in range(len(dp)):
    print(dp[i])

最終結果：

 

可以看到，我們最終可以獲得的最大金子數是900，也就是挖第一個和第二個金礦。