動態規划

動態規划問題

三要素：

最優子結構：子問題的最優解能夠決定這個問題的最優解

邊界：問題最小子集的解(初始范圍)

狀態轉移函數：遞推式

1爬樓梯

分析:
        假定n=10,首先考慮最后一步的情況,要么從第九級台階再走一級到第十級,要么從第八級台階走兩級到第十級,因而,要想到達第十級台階,最后一步一定是從第八級或者第九級台階開始.也就是說已知從地面到第八級台階一共有X種走法,從地面到第九級台階一共有Y種走法,那么從地面到第十級台階一共有X+Y種走法.
即F(10)=F(9)+F(8)
     分析到這里,動態規划的三要素出來了.
        邊界:F(1)=1,F(2)=2
        最優子結構:F(10)的最優子結構即F(9)和F(8)
        狀態轉移函數:F(n)=F(n-1)+F(n-2)

class Solution(object):
    def climbStairs(self, n):
        if n <= 2:
            return n
        a = 1
        b = 2
        for i in range(3, n+1):
            a, b = b, a+b
        return  b

2 最大子序和

給定一個整數數組nums, 找到一個具有最大和的連續子數組，返回其最大和。

分析：
最優子序列：當前值的最大子序和是(之前最大子序和+當前值，當前值)
邊界：第一個值的最大子序和是它自身
狀態轉移函數：dp[i]=max(nums[i], nums[i]+dp[i-1])

nums = [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]
dp = [-2, 1, -2, 4, 3, 5, 6, 1, 5]

class Solution(object):
    def maxSubArray(self, nums):
        if  len(nums)==0:
            return 0
        # 定義一個表格用於存儲上一個問題的最優解
        d = []
        d.append(nums[0])
        max_num = nums[0]
        for i in range(1, len(nums)):
            if nums[i]>nums[i]+d[i-1]:
                d.append(nums[i])
            else:
                d.append(nums[i]+d[i-1])
            if max_num < d[i]:
                max_num = d[i]
        # return max(d)
        return max_num

打家劫舍

最優子結構：最后一家偷不偷，偷則加上前兩位的最大值，不偷則是前一位的最大值
邊界：d[0]=nums[0], d[1]=max(nums[0], nums[1])
狀態轉移函數:d[i]=max(d[i-1], d[i-2]+nums[i])

class Solution(object):
    def rob(self, nums):
        if len(nums)==0:
            return 0
        if len(nums)<=2:
            return max(nums)
        dp = []
        dp.append(nums[0])
        dp.append(max(nums[0], nums[1]))
        for i in range(2, len(nums)):
            dp.append(max(dp[i-1], dp[i-2]+nums[i]))
        return dp[-1]

買股票的最佳時機

[7,1,5,3,6,4]
最優子結構：f(1)的最優子結構是f(7)
邊界:f(0)=0
遞推式：f(1) = max(f(7), 4-最小金額)
其中最小金額是在變化的

class Solution(object):
    def maxProfit(self, prices):
        if len(prices)<=1:
            return 0
        dp = []
        dp.append(0)
        min_value=prices[0]
        for i in range(1, len(prices)):
            dp.append(max(dp[i-1], prices[i]-min_value))
            if prices[i]<min_value:
                min_value=prices[i]
        return dp[-1]

使用最小話費爬樓梯

最優子結構：f(9)和f(8)
邊界：f(0)=1, f(1)=100
遞推式：f(10)=min(f(9)+cost(9), f(8)+cost(8))

class Solution(object):
    def minCostClimbingStairs(self, cost):
        if len(cost) <= 1:
            return min(cost)
        dp = []
        dp.append(cost[0])
        dp.append(cost[1])
        for i in range(2, len(cost)+1):
            if i==len(cost):
                dp.append(min(dp[i-1], dp[i-2]))
            else:
                dp.append(min(dp[i-1]+cost[i], dp[i-2]+cost[i]))
        return dp[-1]