PRIM

最小生成樹Prim

 

最小生成樹的定義

一個有 n 個結點的連通圖的生成樹是原圖的極小連通子圖，且包含原圖中的所有 n 個結點，並且有保持圖連通的最少的邊（度娘原話）

簡單來說，就是一個連接所有點且路徑和最小的圖

Prim的思路

設圖的頂點集合為U，樹的頂點集合為V

從圖中任意一點出發，找到N-1條邊(x,y)，x∈U，y∈V，且權值最小。

通俗的講，就是不斷找權值最小且不產生閉環的N-1條邊

栗子

廢話不多說，先上圖

如下圖所示

 

 

 

 

（1）從V3出發

（2）找到邊(V3,V1)，符合條件且最小，將V1加入V

以此類推……

（N）找到邊(V2,V5)，符合條件且最小，將V5加入V，最小生成樹構造完成

 代碼（C++）

雖然是P黨，但考慮到Pascal受眾較小，我采用C++

代碼巨丑，bug一堆，歡迎巨佬吐槽

務必記住，要將A的初值定為正無窮，不然會卡BUG

/*Prim核心代碼 HYDcn原創*/
for (int i=2;i<=n;i++) { lowcost[i]=a[i][1];//將與V1(或任意一點)有關的邊存入lowcost（與各點最小權值）
 } for (int i=1;i<n;i++) { minval=1000000;//初始化最小值為正無窮
        for (int j=1;j<=n;j++) { if (lowcost[j]>0&&lowcost[j]<minval)//如果當前權值不為0(即未連接過)且更小
 { k=j;//記錄當前點
                    minval=lowcost[j];//將最小值存入
 } } ans+=minval;//統計最小生成樹最小權值和
        lowcost[k]=0;//標記該點
        for (int j=1;j<=n;j++) { if (lowcost[j]>0&&lowcost[j]>a[k][j])//由於U集合點增加，需更新與各點最小權值邊
 { lowcost[j]=a[k][j]; } } } 

輸入

7 9
1 2 28
1 6 10
2 3 16
2 7 14
3 4 12
4 5 22
4 7 18
5 6 25
5 7 24

輸出

99（即權值和）

算法對比

Prim和Kruskal都是最小生成樹算法

據說Prim算法適用於稠密圖 Kruskal適用於稀疏圖

不知道你們信不信，反正我是不信，因為我被親身卡過

（QAQ算法歧視）

Prim:O(N^2)

Kruskal:O(M log M)

Kruskal在絕大部分情況下不會卡，而Prim很容易被卡

能用Kruskal還是盡量用吧