Prim算法詳解

• Prim算法是干什么的？

Prim算法可以計算出一個無向加權圖的最小生成樹

• 什么是最小生成樹？

首先，樹兩個最重要的性質是①用一條邊連接樹中的任意兩點都會產生一個新的環②從樹中刪除一條邊將會得到兩棵獨立的樹，最小生成樹即為連接圖中所有點，且總權重最小的樹。最小生成樹的性質：將圖中的點分為兩個集合，橫跨兩個集合的邊中權重最

小的邊必在最小生成樹中（並不只有權重最小邊在樹中）

• 最小生成樹的性質的證明：

用反證法，如果權重最小的邊 e 不在樹中，那和它橫跨兩個相同的集合且權重比它大的邊 f 樹一定在樹中，如果把 e 加入樹中，再將 f 刪除，則得到一個權重更小的樹，所以 e 必在樹中

• Prim算法如何進行計算？

①選定一個點做為一個集合 a ，剩下的點為另一個集合 b

②將橫跨兩個集合且權重在其中最小的邊加入最小生成樹

③將剛剛加入最小生成樹的邊中不在集合 a 中的點加入集合 a，直到所有的點加入集合 a

具體到代碼如何計算？

class MST {
    private boolean[] marked; //點是否已在樹中
    private double[] distTo; //點到樹的距離
    private ArrayList<Edge> mst; //最小生成樹
    private EdgeWeightedGraph G; //要處理的圖
    private TreeMap<Double, Edge> pq; //保存一個點到樹距離最短的邊和那個距離 按距離從小到大的優先隊列
    
    public MST(EdgeWeightedGraph G) {
        this.G = G;
        int V = G.V();
        marked = new boolean[V];
        distTo = new double[V];
        mst = new ArrayList<>();
        pq = new TreeMap<>();
        //將所有點到樹的距離設置為正無窮
        for (int i = 0; i < distTo.length; i++)
            distTo[i] = Double.POSITIVE_INFINITY;
        //0到0的距離為0
        distTo[0] = 0;
        visit(0);
        Edge tEdge;
        
        while (!pq.isEmpty()) {
            tEdge = pq.remove(pq.firstKey()); //從優先隊列中取出距離樹最短的邊
            mst.add(tEdge); //加入樹中
            //更新優先隊列
            int v = tEdge.either(); //either()返回邊的任意一個點
            if (!marked[v]) visit(v);
            else            visit(tEdge.other(v)); //other(v)返回除v外的另一個節點
        }
    }
    /*
     * 將v的邊加入優先隊列
     */
    private void visit(int v) {
        marked[v] = true;
        for (Edge e : G.adj(v)) { //adj(v)返回該點的所有邊
            int w = e.other(v);
            double weight = e.weight();
            //如果發現了使此點到樹的距離更小的通路，則更新優先隊列
            if (weight < distTo[w]) {
                //如果以前已經存過這個點w到最小生成樹的邊了 現在找到了權重更小的所以把它刪除
                pq.remove(distTo[w]);
                distTo[w] = weight; //更新最小距離
                pq.put(weight, e); //插入優先隊列
            }
        }
    }
    
    public Iterable<Edge> edgs() { return mst;}
}

將樹所有鄰近的 點的到樹距離最短的邊 全部加入優先隊列，從隊列中拿出最短的邊，將其加入樹中

pq始終保存着樹旁邊所有的節點到樹的最短距離

①將0加入mst，將0-7，0-2，0-4，0-6加入優先隊列，其中0-7的權重最小

②將7加入mst，將7-1，7-4（因為發現了比0-4到樹距離更小的邊所以刪了0-4，加入7-4），7-5，（7-2不加入因為原來的距離更小），其中7-1權重最小