Prim算法和Kruskal算法

  Prim算法和Kruskal算法都能從連通圖找出最小生成樹。區別在於Prim算法是挨個找，而Kruskal是先排序再找。

 

    一、Prim算法：

    Prim算法實現的是找出一個有權重連通圖中的最小生成樹，即：具有最小權重且連接到所有結點的樹。(強調的是樹，樹是沒有回路的)。

    Prim算法是這樣來做的： 

    首先以一個結點作為最小生成樹的初始結點，然后以迭代的方式找出與最小生成樹中各結點權重最小邊，並加入到最小生成樹中。加入之后如果產生回路則跳過這條邊，選擇下一個結點。當所有結點都加入到最小生成樹中之后，就找出了連通圖中的最小生成樹了。

 

    Prim算法最小生成樹查找過程：

 

 

C語言實現：

 

 #include <stdio.h>
 　　#include <stdlib.h>
 　　#define maxint 1073741824
 　　int main()
 　　{
 　　FILE *input=fopen(“input.txt”,“r”),*out=fopen(“output.txt”,“w”);
 　　int n,m,i,j,x,y,w;
 　　fscanf(input,”%d %d”,&n,&m);
 　　int map[n][n],E[m][3],tree[m],Mst[n][n];
 　　/*Mst表示最小生成樹的鄰接矩陣，map是原圖，E是邊集，其中E[0]和E[1]是邊的兩個頂點，E[2]是邊的權值，tree是用於判斷原圖的點是否在最小生成樹中*/
 　　memset(tree,0,sizeof(tree));
 　　for(i=0; i<n; i++)
 　　{
 　　for(j=0; j<n; j++)
 　　{
 　　map[i][j]=maxint;
 　　Mst[i][j]=maxint;
 　　}
 　　E[i][0]=E[i][1]=maxint;
 　　}
 　　for(i=0; i<m; i++)
 　　{
 　　fscanf(input,”%d %d %d”,&x,&y,&w);
 　　if(w<map[x][y])
 　　{
 　　map[x][y]=w;
 　　map[y][x]=w;
 　　}
 　　}
 　　int min=maxint,next=0,now=0,k=0;
 　　tree[0]=1;
 　　for(i=0; i<n; i++)
 　　{
 　　for(j=0; j<n; j++)
 　　{
 　　if(map[now][j]!=maxint && tree[j]==0)
 　　{
 　　E[k][0]=now;
 　　E[k][2]=map[now][j];
 　　E[k++][1]=j;
 　　}
 　　}
 　　for(j=0; j<k; j++)
 　　{
 　　if(E[j][2]<min && tree[E[j][1]]==0)
 　　{
 　　min=E[j][2];
 　　x=E[j][0];
 　　y=E[j][1];
 　　next=y;
 　　}
 　　}
 　　tree[next]=1;
 　　now=next;
 　　Mst[x][y]=map[x][y];
 　　Mst[y][x]=map[y][x];
 　　min=maxint;
 　　}
 　　for(i=0; i<n; i++)
 　　{
 　　for(j=0; j<n; j++)
 　　{
 　　if(Mst[i][j]==maxint) //判斷兩點是否連通
 　　fprintf(out,”00 ”); //美化輸出，不必多加探究
 　　else
 　　{
 　　fprintf(out,”%d ”,Mst[i][j]); //輸出生成樹的鄰接矩陣，要輸出樹的自己可以根據鄰接矩陣的數據進行加工
 　　}
 　　}
 　　fprintf(out,”\n”);
 　　}
 　　fclose(input);
 　　fclose(out);
 　　return 0;
 　　} // 程序未考慮不是連通圖的情況，修改很簡單，判斷生成樹的節點數量是否等於原圖的節點數量
 　　//如果小於（不會有大於）則本圖不是連通圖
 　　//其實prim和迪傑斯特拉算法核心有相似之處

 

 注意：
    　若候選輕邊集中的輕邊不止一條，可任選其中的一條擴充到T中。
    　連通網的最小生成樹不一定是惟一的，但它們的權相等。
【例】在上圖(e)中，若選取的輕邊是(2，4)而不是(2，1)時，則得到如圖(h)所示的另一棵MST。
    
算法特點
    　該算法的特點是當前形成的集合T始終是一棵樹。將T中U和TE分別看作紅點和紅邊集，V-U看作藍點集。算法的每一步均是在連接紅、藍點集的紫邊中選擇一條輕邊擴充進T中。MST性質保證了此邊是安全的。T從任意的根r開始，並逐漸生長直至U=V，即T包含了 C中所有的頂點為止。MST性質確保此時的T是G的一棵MST。因為每次添加的邊是使樹中的權盡可能小，因此這是一種”貪心”的策略。
算法分析
    　該算法的時間復雜度為O(n²)。與圖中邊數無關，該算法適合於稠密圖。

算法演示：

http://sjjp.tjuci.edu.cn/sjjg/DataStructure/DS/web/flashhtml/prim.htm

    二、Kruskal算法：

    Kruskal算法與Prim算法的不同之處在於，Kruskal在找最小生成樹結點之前，需要對所有權重邊做從小到大排序。將排序好的權重邊依次加入到最小生成樹中，如果加入時產生回路就跳過這條邊，加入下一條邊。當所有結點都加入到最小生成樹中之后，就找出了最小生成樹。

 

C語言實現：

 

 /* Kruskal.c
 　　Copyright (c) 2002, 2006 by ctu_85
 　　All Rights Reserved.
 　　*/
 　　/* I am sorry to say that the situation of unconnected graph is not concerned */
 　　#include ”stdio.h”
 　　#define maxver 10
 　　#define maxright 100
 　　int G[maxver][maxver],record=0,touched[maxver][maxver];
 　　int circle=0;
 　　int FindCircle(int,int,int,int);
 　　int main()
 　　{
 　　int path[maxver][2],used[maxver][maxver];
 　　int i,j,k,t,min=maxright,exsit=0;
 　　int v1,v2,num,temp,status=0;
 　　restart:
 　　printf(”Please enter the number of vertex(s) in the graph:\n”);
 　　scanf(”%d”,&num);
 　　if(num>maxver||num<0)
 　　{
 　　printf(”Error!Please reinput!\n”);
 　　goto restart;
 　　}
 　　for(j=0;j<num;j++)
 　　for(k=0;k<num;k++)
 　　{
 　　if(j==k)
 　　{
 　　G[j][k]=maxright;
 　　used[j][k]=1;
 　　touched[j][k]=0;
 　　}
 　　else
 　　if(j<k)
 　　{
 　　re:
 　　printf(”Please input the right between vertex %d and vertex %d,if no edge exists please input -1:\n”,j+1,k+1);
 　　scanf(”%d”,&temp);
 　　if(temp>=maxright||temp<-1)
 　　{
 　　printf(”Invalid input!\n”);
 　　goto re;
 　　}
 　　if(temp==-1)
 　　temp=maxright;
 　　G[j][k]=G[k][j]=temp;
 　　used[j][k]=used[k][j]=0;
 　　touched[j][k]=touched[k][j]=0;
 　　}
 　　}
 　　for(j=0;j<num;j++)
 　　{
 　　path[j][0]=0;
 　　path[j][1]=0;
 　　}
 　　for(j=0;j<num;j++)
 　　{
 　　status=0;
 　　for(k=0;k<num;k++)
 　　if(G[j][k]<maxright)
 　　{
 　　status=1;
 　　break;
 　　}
 　　if(status==0)
 　　break;
 　　}
 　　for(i=0;i<num-1&&status;i++)
 　　{
 　　for(j=0;j<num;j++)
 　　for(k=0;k<num;k++)
 　　if(G[j][k]<min&&!used[j][k])
 　　{
 　　v1=j;
 　　v2=k;
 　　min=G[j][k];
 　　}
 　　if(!used[v1][v2])
 　　{
 　　used[v1][v2]=1;
 　　used[v2][v1]=1;
 　　touched[v1][v2]=1;
 　　touched[v2][v1]=1;
 　　path[0]=v1;
 　　path[1]=v2;
 　　for(t=0;t<record;t++)
 　　FindCircle(path[t][0],path[t][0],num,path[t][0]);
 　　if(circle)
 　　{/*if a circle exsits,roll back*/
 　　circle=0;
 　　i–;
 　　exsit=0;
 　　touched[v1][v2]=0;
 　　touched[v2][v1]=0;
 　　min=maxright;
 　　}
 　　else
 　　{
 　　record++;
 　　min=maxright;
 　　}
 　　}
 　　}
 　　if(!status)
 　　printf(”We cannot deal with it because the graph is not connected!\n”);
 　　else
 　　{
 　　for(i=0;i<num-1;i++)
 　　printf(”Path %d:vertex %d to vertex %d\n”,i+1,path[0]+1,path[1]+1);
 　　}
 　　return 1;
 　　}
 　　int FindCircle(int start,int begin,int times,int pre)
 　　{ /* to judge whether a circle is produced*/
 　　int i;
 　　for(i=0;i<times;i++)
 　　if(touched[begin]==1)
 　　{
 　　if(i==start&&pre!=start)
 　　{
 　　circle=1;
 　　return 1;
 　　break;
 　　}
 　　else
 　　if(pre!=i)
 　　FindCircle(start,i,times,begin);
 　　else
 　　continue;
 　　}
 　　return 1;
 　　}

 

算法描述：克魯斯卡爾算法需要對圖的邊進行訪問，所以克魯斯卡爾算法的時間復雜度只和邊又關系，可以證明其時間復雜度為O（eloge）。

算法過程：

1.將圖各邊按照權值進行排序

2.將圖遍歷一次，找出權值最小的邊，（條件：此次找出的邊不能和已加入最小生成樹集合的邊構成環），若符合條件，則加入最小生成樹的集合中。不符合條件則繼續遍歷圖，尋找下一個最小權值的邊。

3.遞歸重復步驟1，直到找出n-1條邊為止（設圖有n個結點，則最小生成樹的邊數應為n-1條），算法結束。得到的就是此圖的最小生成樹。

克魯斯卡爾（Kruskal）算法因為只與邊相關，則適合求稀疏圖的最小生成樹。而prime算法因為只與頂點有關，所以適合求稠密圖的最小生成樹。

 無疑，Kruskal算法在效率上要比Prim算法快，因為Kruskal只需要對權重邊做一次排序，而Prim算法則需要做多次排序。盡管Prim算法每次做的算法涉及的權重邊不一定會涵蓋連通圖中的所有邊，但是隨着所使用的排序算法的效率的提高，Kruskal算法和Prim算法之間的差異將會清晰的顯性出來。