Jones矢量、Stokes參量、Poincare球、Bloch球

總結一下光的偏振態表示，以及Poincare球和Bloch球的相似性，以及偏振度。盜了兩張示意圖。部分內容是Wikipedia上面的，結合了手里有的書化簡了一下，有的內容是自己推的。一開始讀量子信息書的時候就對於光的偏振態的這種“量子”的表述感到好奇，粗讀下來好像也不記得哪里有仔細講過。這篇總結羅列了這些東西，其實是半年前寫的，本來讀的書、文章就少，已經有段時間沒碰相關的東西了，再深入的思考就以后再說吧。

Jones矢量

考慮沿着\(+z\)方向傳播的平面波，電場可以寫為

\[\left(\begin{array}{c}{E_{x}(t)} \\ {E_{y}(t)} \\ {0}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{E_{0 x} e^{i\left(k z-\omega t+\phi_{x}\right)}} \\ {E_{0 y} e^{i\left(k z-\omega t+\phi_{y}\right)}} \\ {0}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{E_{0 x} e^{i \phi_{x}}} \\ {E_{0 y} e^{i \phi_{y}}} \\ {0}\end{array}\right) e^{i(k z-\omega t)} \]

Jones矢量取為

\[\left(\begin{array}{l}{E_{0 x} e^{i \phi_{x}}} \\ {E_{0 y} e^{i \phi_{y}}}\end{array}\right) \]

注意如果對Jones矢量歸一化，則不含強度信息，只表示一個完全偏振光的偏振態。Jones矢量可以提取出來一個全局相位因子。\((1,0)^\text{T}\)表示\(|H\rangle\)光，\((0,1)^\text{T}\)表示\(|V\rangle\)光，之所以用歸一化的列向量以及狄拉克符號來表示偏振態，是因為Jones矩陣表示的光的偏振和量子態的相似性。可以驗證\((1,-i)^\text{T}/\sqrt{2}\)是右旋光（光入射至眼睛，發現在空間固定一點，電場矢量逆時針轉動），而\((1,i)^\text{T}/\sqrt{2}\)是左旋光。

光通過偏振片、波片后，Jones向量就等於該元件的Jones矩陣乘以入射光的Jones向量。可以推導得到，一個快軸和水平方向夾角為\(\theta\)的四分之一波片的Jones矩陣為

\[e^{-\frac{i \pi}{4}}\left(\begin{array}{cc}{\cos ^{2} \theta+i \sin ^{2} \theta} & {(1-i) \sin \theta \cos \theta} \\ {(1-i) \sin \theta \cos \theta} & {\sin ^{2} \theta+i \cos ^{2} \theta}\end{array}\right) \]

一個快軸和水平方向夾角為\(\theta\)的半波片的Jones矩陣為

\[e^{-\frac{i \pi}{2}}\left(\begin{array}{cc}{\cos ^{2} \theta-\sin ^{2} \theta} & {2 \cos \theta \sin \theta} \\ {2 \cos \theta \sin \theta} & {\sin ^{2} \theta-\cos ^{2} \theta}\end{array}\right) \]

對於任意種類的偏振片的Jones矩陣，可以直接類比量子力學中的投影算符得到：設該偏振片允許通過的光的偏振由Jones矢量\(|\psi\rangle\)描述，則它的Jones矩陣為\(|\psi\rangle\langle\psi|\)，由此可以計算水平偏振片、斜45度偏振片、圓偏偏振片的Jones矩陣。注意，這些矩陣都是幺正的。

偏振橢圓

偏振橢圓的方程是容易求出的（消去參數\(t\)即可）

\[\left(\frac{E_x}{E_{0x}}\right)^2+\left(\frac{E_y}{E_{0y}}\right)^2-2\left(\frac{E_x}{E_{0x}}\right)\left(\frac{E_y}{E_{0y}}\right)\cos\phi=\sin^2\phi \]

其中\(\phi\)是相位差。如圖所示，其中的兩個角\(\psi,\chi\)描述了偏振橢圓的取向。為了簡單地表達這兩個角，除了相位差\(\phi\)以外，再引入一個范圍在\([0,\pi/2]\)的角\(\alpha\)滿足\(\tan \alpha=E_{0y}/E_{0x}\)，有了這些就可以計算得到

\[\tan(2\psi)=\tan(2\alpha)\cos\phi \]

\[\sin(2\chi)=\sin(2\alpha)\sin\phi \]

其中，規定\(0\leqslant\psi<\pi\)，\(-\pi/4\leqslant\chi\leqslant\pi/4\).

Stokes參量和偏振度

對於完全偏振的平面光波, 定義Stokes參量定義為\((S_0,S_1,S_2,S_3)^T\),\(其中S_0=I=E_{0x}^2+E_{0y}^2\)是光強, \(S_1=E_{0x}^2-E_{0y}^2\), \(S_2=2E_{0x}E_{0y}\cos\phi\), \(S_3=2E_{0x}E_{0y}\sin\phi\), 而\(\phi\)是\(x,y\)方向振動的相位差。如果引入上面偏振橢圓里面的增設變量\(\psi,\chi\), 則Stokes參量還可以表示為（Stokes參量都是實數，而Jones向量一般是復的）：

\[\begin{pmatrix} S_0\\S_1\\S_2\\S_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} I\\ I\cos2\psi\cos2\chi\\ I\sin2\psi\cos2\chi\\ I\sin2\chi \end{pmatrix} \]

另一方面, Jones矢量也可以表示出完全偏振平面光波的偏振態, 由上式可以直接看出Jones矢量\((E_x,E_y)^\text{T}\)和Stokes參量之間的關系如下（注意下標的有無），

\[\begin{pmatrix} S_0\\S_1\\S_2\\S_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} |E_x|^2+|E_y|^2\\ |E_x|^2-|E_y|^2\\ 2\text{Re}[E_xE_y^*]\\ -2\text{Im}[E_xE_y^*] \end{pmatrix} \]

注意Stokes參量的四個參數並不獨立, 后三個的平方和等於第一個, 因此可以除以\(S_0\)使得Stokes參量歸一化。

上面是Stokes參量的三種表示方法。

觀察第三種表示方法，對於完全偏振情形, 可以發現

\[\begin{aligned} S_1=(E_x^*,E_y^*)\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}E_x\\E_y\end{pmatrix} \end{aligned}=\langle\xi|\sigma_z|\xi\rangle \]

同理, 有\(S_2=U=\langle\xi|\sigma_x|\xi\rangle\)和\(S_3=V=\langle\xi|\sigma_y|\xi\rangle\)。所以當Stokes參量和Jones矢量都歸一化后, Stokes參量可寫為

\[\begin{pmatrix} S_0\\S_1\\S_2\\S_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \langle \hat{I}\rangle\\ \langle\hat{\sigma}_z\rangle\\ \langle\hat{\sigma}_x\rangle\\ \langle\hat{\sigma}_y\rangle \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \text{tr}( \hat{\rho}\hat{I})\\ \text{tr}( \hat{\rho}\hat{\sigma}_z)\\ \text{tr}( \hat{\rho}\hat{\sigma}_x)\\ \text{tr}( \hat{\rho}\hat{\sigma}_y) \end{pmatrix}\tag{$*$} \]

其中\(\hat{\rho}=|\xi\rangle\langle\xi|\)是純態密度矩陣, 而\(\hat{I}\)是單位算符。

對於一束由歸一化的Stokes參量\((1,{\bf{S}})^\text{T}\)描述的完全偏振光, 現在求其通過某偏振片后的光強, 而該偏振片的允許偏振由歸一化的Stokes參量\((1,{\bf{D}})^\text{T}\)描述, 則經過計算, 通過后的光強為

\[I'=\frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1,\bf{D} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1\\ {\bf{S}}^\text{T} \end{pmatrix}\tag{$**$} \]

這里入射光強已經歸一化。

非完全偏振光, 實際上是多束完全偏振光作非相干疊加, 即各束光之間無相位關聯。因此它在通過偏振片時, 各組分的電矢量獨立地被偏振片投影, 所以實驗測得的透射光強為各自透過的光強之和, 即

\[I'=\frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1,\bf{D} \end{pmatrix}\left[\sum_k^mp_k\begin{pmatrix} 1\\ {\bf{S}}_k^T \end{pmatrix}\right] \]

其中為了對入射總光強歸一化, 有\(\sum_k^mp_k=1\), \(p_k\)表示參與構成非完全偏振光的各個完全偏振光的強度比例.

於是得出結論：在討論非完全偏振光透過偏振片后的光強大小時, Stokes參量是可加的。於是\((**)\)式對非完全偏振光依然成立。

因為Stokes參量的可加性, 對於非完全偏振光, \((*)\)式可以進一步改寫為

\[\begin{pmatrix} S_0\\S_1\\S_2\\S_3 \end{pmatrix}=\sum_k^mp_k \begin{pmatrix} \text{tr}( \hat{\rho}_k\hat{I})\\ \text{tr}( \hat{\rho}_k\hat{\sigma}_z)\\ \text{tr}( \hat{\rho}_k\hat{\sigma}_x)\\ \text{tr}( \hat{\rho}_k\hat{\sigma}_y) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \text{tr}( \hat{\rho}\hat{I})\\ \text{tr}( \hat{\rho}\hat{\sigma}_z)\\ \text{tr}( \hat{\rho}\hat{\sigma}_x)\\ \text{tr}( \hat{\rho}\hat{\sigma}_y) \end{pmatrix} \tag{$***$} \]

其中\(\hat{\rho}=\sum_k^mp_k\hat{\rho}_k\)是混合態密度矩陣。於是\((**)\)式是普遍的, 對於完全偏振和非完全偏振光都成立, 只不過非完全偏振光的密度矩陣是各個完全偏振光密度矩陣組成的混合態密度矩陣。

偏振度的定義是從實驗出發的：一束非完全偏振光入射, 垂直通過一偏振片, 測量通過后的光強, 遍歷所有的偏振方向, 得到光強最大值和最小值, 由此定義偏振度偏振度的定義為

\[P=\frac{I_\max-I_\min}{I_\max+I_\min} \]

對於給定Stokes參量\((1,{\bf{S}})^\text{T}\)的非完全偏振光, 須求其通過某方向偏振片后的光強, 並遍歷偏振方向\((1,{\bf{D}})^\text{T}\), 才能由此算出偏振度。利用\((**)\)式, 設\({\bf{D}}=(d_1,d_2,d_3)\), 這個問題等價於求函數

\[w=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}(d_1S_1+d_2S_2+d_3S_3) \]

在給定諸\(S_i\)時的最大值和最小值。注意問題的約束為\(d_1^2+d_2^2+d_3^2=1\)。該問題是線性規划, 可行域為單位球面, 目標函數是一個平面, 法向量為\((S_1,S_2,S_3)\), 根據幾何位置關系可得最大值最小值為

\[\begin{aligned} w_\max&=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{S_1^2+S_2^2+S_3^2}\\ w_\min&=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\sqrt{S_1^2+S_2^2+S_3^2} \end{aligned} \]

於是由此得出偏振度為\(P=\sqrt{S_1^2+S_2^2+S_3^2}\). 這就是一般情況下, 偏振度和歸一的Stokes參量的關系。

Poincare球、Bloch球及其與Stokes參量的關系

對於非完全偏振光，但光強歸一化的Stokes參量（第一個分量為1），若采用偏振橢圓方位角的形式將其表示為（后三個分量平方之和開方等於常數偏振度\(P\)，因此不失一般性）

\[S=(1,P\cos2\psi\cos2\chi,P\sin2\psi\cos2\chi,P\sin2\chi)^\text{T} \]

並將后三個分量建立三維坐標，則每一個Stokes參量都對應於單位球面內的一個點（或者更准確地說，對應於一個矢量），且兩個方位角有幾何意義，如下圖所示。這個球就是Poincare球，或者叫做龐加萊球、邦加球。

很明顯當偏振度\(P=1\)時，點位於單位球面上。注意到在上面圖示中可以引入新變量\(\gamma=\pi/2-2\chi\)，這樣變量\((2\psi,\gamma)\)就是一般球坐標中的方位角和極角。

在二能級系統的算符空間內（Hilbert-Schmidt內積空間）任何二能級混合態的密度矩陣都可以寫為四個“基矢量”（這里是算符）的疊加（見任意一本量子信息的書）

\[\rho=\frac{I}{2}+\frac{{\vec{r}}\cdot{\vec{\sigma}}}{2} \]

其中疊加系數\(\vec{r}\)是實的單位矢量，投影可反求出系數\({\vec{r}}=\text{tr}(\rho{\bf\sigma})\)，根據\((***)\)式可得\(\vec{r}=(S_1,S_2,S_3)\)，它恰好就是即上圖中位於單位球面內的那個矢量，注意到\(|\vec{r}|=P\)。

另一方面，在量子力學中，對於任意一個二能級混合態，都能在Bloch球中表示出來。若設某混合態為\(\rho\)，則按分解\(\rho=\frac{I}{2}+\frac{{\bf{r}}\cdot{\bf{\sigma}}}{2}\)得到的矢量\(\vec{r}\)就是Bloch矢量，且\(|\vec{r}|\leqslant1\)，當取等號時代表純態。所以這里的Poincare球和Bloch球完全相同：偏振態也可用一個三維實矢量表示，該矢量模長代表“純”度或偏振度。只不過在Bloch球中，常用的角度變量不是\(\chi\)，而是極角\(\gamma\).