球盒問題的意思是有n個球，m個盒子，問將n個球放入m個盒子有多少種方案數。（n ≥ m）
其中有三個變量，分別是球是否不同、盒子是否不同、盒子是否為空，因此一共有8個問題。
其中
F[i][j] = F[i - 1][j - 1] + F[i - 1][j] * j
G[i][j] = G[i][j - 1] + G[i - j][j]
- 1.球不同，盒子不同，可以為空：
從一個球入手，每個球都可以放入任何一個盒子，因此每個球有m種放球方案，一共有n個球，所以總方案數是mn。
因為每個球不同，盒子不同，所以不會有重復的情況。
- 2.球相同，盒子不同，不可以為空：
因為球都是相同的，且盒子不同，所以可以使用隔板法來解決這個問題。
考慮將n個球排成一排，中間放入m - 1個隔板（因為盒子不可以為空，所以隔板不能重合且不能放在兩邊），這樣球就被分成了m塊，與將n個球放入m個盒子是一樣的。
所以總的方案數就被轉化成了放隔板的方案數，因為n個球兩兩之間有n - 1個縫隙，需要插入m - 1個隔板，且隔板之間不能重合，所以總的方案數就是C(n - 1, m - 1)。
- 3. 球相同，盒子相同，可以為空：
這個也可以用隔板法來求，因為盒子可以為空，所以板子可以相鄰（及這個盒子為空），同時板子也可以放在兩邊（也表示這個盒子為空）。
這樣又轉化為了放隔板的方案數，但用上面那個解法做起來可能有點麻煩，考慮將球和板子看成同一種物體，有n + m - 1個空位，其中n個空位放球，m - 1個空位放板子，那么在這n + m - 1空位中，放m - 1個板子的方案數就是C(n + m - 1, m - 1);
- 4. 球不同，盒子相同，不可以為空：
這個可以用遞推來求，設F[i][j]表示用j個盒子來裝前i個球的方案數。
考慮第i個球此時的狀態，它可以放入一個新的盒子中，因為所有的盒子都是相同的，所以放入任意一個新的盒子方案數都是相同的，那么方案數為F[i - 1][j - 1]（表示前i - 1個球放入j - 1個盒子里，然后用第j個盒子(其實用沒裝過小球的哪個盒子裝都一樣)來裝第i個小球）；它也可以放入一個放過球的盒子里，因為球是不同的，所以放入j個盒子中，哪個盒子的方案是不同的，那么方案數就要 * j，及F[i - 1][j] * j（表示前i - 1個球放入j個盒子里，然后第i個小球放入j個盒子中任意一個）。
那么用j個盒子來裝前i個球的方案數就是F[i - 1][j - 1] + F[i - 1][j] * j。
轉移方程為F[i][j] = F[i - 1][j - 1] + F[i - 1][j] * j。
因為不可以為空，所以最后的答案就是F[n][m]。
- 5. 球不同，盒子相同，可以為空：
與上一個不同的是，盒子可以為空，而其他不變，因此F[i][j]的狀態不變，方程轉移也不變，只有最后的答案變了。
因為盒子可以為空，所以最終的答案和盒子的數量無關，因此只需要枚舉盒子數量，答案累加F[n][i]（及將n個球放入i個盒子）即可。
- 6. 球不同，盒子不同，不可以為空：
這個和第4個也是一樣的，但是因為這個盒子是不同的，所以最后的答案也會難免增加。
先通過打表發現盒子不同的方案數總是是盒子相同的方案數的 m! 倍，下面證明一下。
對於兩個不同的盒子，在盒子相同的基礎上，每種方案都可以將兩個盒子中的球互換形成一種新的方案，於是盒子不同的方案就是盒子相同的方案的2倍；對於三個不同的盒子，每種方案都可以將第一個盒子中的球與第二個盒子中的球互換，第二個盒子中的球再與第三個盒子中的球互換……以此類推，共有6種互換方式，於是答案就 * 6。像這樣，很容易得出是 * m!。
- 7. 球相同，盒子相同，可以為空：
這種情況用考慮第i個的方法做不出來了，於是考慮用一種操作來模擬放球的過程。
設置兩個操作：1. 新建一個盒子； 2. 將每個盒子中增加一個球
設G[i][j]表示用j個盒子來裝i個球的方案數，易得出轉移方程為G[i][j] = G[i][j - 1]（新建一個盒子） + G[i - j][j]（將每個盒子中放入一個球）。
對於每個盒子，顯而易見前面盒子中的球個數一定 ≥ 后面盒子中球的個數的，因此答案不會重復。
對於為什么這個操作與球盒問題的第七個相對應，是因為對於球相同且盒子相同，考慮第i個球，它可以放入一個新的盒子，但放入任何一個盒子的方案數都是相同的；它也可以放入一個有球的盒子里，但是在這個盒子中放入這個球后，這個盒子中的球的數量不能大於之前盒子中的數量，否則就會重復。
因此這個問題也是前面盒子中的球個數一定 ≥ 后面盒子中球的個數的，可以發現它與G數組性質一樣，因此它們是一一對應的。
最后的答案就是G[n][m]。
這種做法是憑經驗想出來的。
- 8. 球相同，盒子相同，不可以為空：
這個與上一個一樣，但因為不可以為空，只需要在每個盒子中事先放入一個球即可。
於是這個答案就是G[n - m][m]。