Stokes相關總結

Stokes公式

Date：2021/11/24

Author：自倚修行

一、基礎知識

1.1 Hamilton算子

定義：

\[\nabla = (\frac{\part}{\part x}, \frac{\part}{\part y}, \frac{\part}{\part z}) \]

形式上，可以將Hamilton算子看作向量。同時，Hamilton算子還有二階形式 \(\nabla = (\frac{\part}{\part x},\frac{\part}{\part y})\)。

利用Hamilton算子，可以定義如下概念：

梯度：

\[\mathbf{grad}\ F = \nabla F = (\frac{\part F}{\part x}, \frac{\part F}{\part y}, \frac{\part F}{\part z}) \]

散度：

\[\mathbf{div}\ F = \nabla\cdot F = \frac{\part F}{\part x} + \frac{\part F}{\part y} + \frac{\part F}{\part z} \]

旋度：

\[\mathbf{rot}\ F = \nabla\times F = \left|\begin{matrix} i & j & k \\ \frac{\part}{\part x}& \frac{\part}{\part y}& \frac{\part}{\part z} \\ P & Q & R \end{matrix}\right|,\ F = P\ \mathbf{i} + Q\ \mathbf{j} + R\ \mathbf{k} \]

1.2 外微分

外微分是對 \(k\) - 形式微分的特殊稱呼。

\(k\) - 形式通常如下定義：

\(k\) - 形式：

\[\omega = \sum\limits_{1\le i_1<i_2<\cdots<i_k\le n} f_{i_1,i_2,\cdots,i_k}\ \mathbf{d}x_{i_1} \wedge \mathbf{d}x_{i_2} \wedge \cdots\wedge \mathbf{d}x_{i_k} \]

舉例如下：

\(0\) - 形式：

\[\omega = f(x,y,z) \]

\(1\) - 形式：

\[\omega = f(x,y,z)\mathbf{d}x + g(x,y,z)\mathbf{d}y + r(x,y,z)\mathbf{d}z \]

\(2\) - 形式：

\[\omega = f(x,y,z)\mathbf{d}y\wedge \mathbf{d}z + g(x,y,z)\mathbf{d}z\wedge \mathbf{d}x + r(x,y,z)\mathbf{d}x\wedge \mathbf{d}y \]

一般如下定義外微分：

外微分定義：

\[\begin{aligned} \mathbf{d} \omega &= \sum\limits_{1\le i_1<\cdots<i_k\le n} (\mathbf{d} f_{i_1,\cdots,i_k}) \ \mathbf{d}x_{i_1} \wedge \cdots\wedge \mathbf{d}x_{i_k} \\ &= \sum\limits_{1\le i_1<\cdots<i_k\le n}\sum\limits_{j=1}^n\frac{\part f_{i_1,\cdots,i_k}}{\part x_{j}}\mathbf{d}x_j \wedge\mathbf{d}x_{i_1} \wedge \cdots\wedge \mathbf{d}x_{i_k} \\ \end{aligned} \]

不加證明地給出如下性質（\(\omega\) 是 \(k\) - 形式，\(\eta\) 是 \(l\) - 形式）：

\[\mathbf{d} x_i \wedge \mathbf{d}x_i = 0 \\ \mathbf{d}^2 \omega = \mathbf{d}(\mathbf{d} \omega) = 0 \\ \mathbf{d}(\omega \wedge \eta) = \mathbf{d}\omega \wedge \eta + (-1)^k \omega \wedge \mathbf{d}\eta \\ \]

二、曲線積分

2.1 第一類曲線積分

第一類曲線積分是對曲線質量的積分，可以用於計算曲線長度。

首先考慮第一類曲線積分中的弧長微元，由勾股定理：

\[\begin{aligned} \Delta s &= \sqrt{[\Delta x]^2+[\Delta y]^2+[\Delta y]^2} \\ \mathrm{d}s &= \sqrt{[x'(t)]^2+[y'(t)]^2+[z'(t)]^2} \mathrm{d}t \\ \end{aligned} \]

自然的，計算第一類曲線積分：

\[\int_L f(x,y,z) \mathrm{d}s = \int_\alpha^\beta f(x(t),y(t),z(t))\sqrt{[x'(t)]^2+[y'(t)]^2+[z'(t)]^2} \mathrm{d}t \]

2.2 第二類曲線積分

第二類曲線積分是求力沿路徑所做的功，寫法靈活。

第二類曲線積分中的路徑微元是如下向量：

\[\mathrm{d}\mathbf{s} = (\mathrm{d}x, \mathrm{d}y, \mathrm{d}z) \]

第二類曲線積分有如下寫法：

\[\begin{aligned} \int_L F\cdot \mathrm{d}\mathbf{s} &= \int_L P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y+R\mathrm{d}z \\ &= \int_L [P\cos\alpha+Q\cos\beta+R\cos\gamma]\mathrm{d}s \\ &= \int_L F \cdot \tau\ \mathrm{d}s \end{aligned} \]

其中，\(\tau\) 是曲線在各點處的單位切向量，\(\alpha\ \beta \ \gamma\) 為 \(\tau=(\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma)\) 中定義。

計算第二類曲線積分主要是利用 \(1\) - 形式：

\[\begin{aligned} \int_L F\cdot \mathrm{d}\mathbf{s} &= \int_L P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y+R\mathrm{d}z \\ &= \int_\alpha^\beta [Px'(t)+Qy'(t)+Rz'(t)]\mathrm{d}t \end{aligned} \]

三、曲面積分

3.1 第一類曲面積分

第一類曲面積分是對曲面質量的積分，可以用於計算曲面面積。

首先考慮第一類曲面積分中的面積微元，利用面積在各坐標平面的投影：

\[\mathrm{d}S = \cos\alpha \mathrm{d}y\mathrm{d}z + \cos\beta \mathrm{d}z\mathrm{d}x+\cos\gamma \mathrm{d}x\mathrm{d}y \]

計算第一類曲面積分需要利用向量叉積將 \(x,y,z\) 空間的面積微元投射到 \(u,v\) 空間。

設 \(x = x(u,v),y = y(u,v), z = z(u,v), r=(x,y,z)\)，則：

\[\mathrm{d}S = \| r_u \times r_v \| \mathrm{d}u\mathrm{d}v \]

其中的變換參數：

\[\begin{aligned} \| r_u \times r_v \| &= \left|\begin{matrix} i & j & k \\ x_u & y_u & z_u \\ x_v & y_v & z_v \end{matrix}\right| \\ &= \sqrt{\left[\frac{\partial(y, z)}{\partial(u, v)}\right]^{2}+\left[\frac{\partial(z, x)}{\partial(u, v)}\right]^{2}+\left[\frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)}\right]^{2}} \\ &= \sqrt{EG-F^2} \end{aligned} \]

此時有 \(E = r_u\cdot r_u,\ F = r_u \cdot r_v,\ G = r_v\cdot r_v\) 稱為 \(\text{Gauss}\) 系數。

自然的，計算第一類曲面積分：

\[\int_\Sigma f(x,y,z) \mathrm{d}S = \int_{\Sigma'} f(x(u,v), y(u,v), z(u,v))\sqrt{EG-F^2}\ \mathrm{d}u\mathrm{d}v \]

其中，\(\Sigma'\) 是曲面 \(\Sigma\) 在 \(u,v\) 空間上的投影。

3.2 第二類曲面積分

第二類曲面積分是對過曲面的流量進行積分，寫法靈活。

第二類曲面積分中的面積微元是如下向量：

\[\mathrm{d}\mathbf{S} = (\mathrm{d}y\mathrm{d}z, \mathrm{d}z\mathrm{d}x, \mathrm{d}x\mathrm{d}y) \]

第二類曲面積分有如下寫法：

\[\begin{aligned} \int_\Sigma F\cdot \mathrm{d}\mathbf{S} &= \int_\Sigma P \mathrm{d}y\mathrm{d}z+Q\mathrm{d}z\mathrm{d}x+R\mathrm{d}x\mathrm{d}y \\ &= \int_\Sigma [P\cos\alpha+Q\cos\beta+R\cos\gamma] \mathrm{d}S \\ &= \int_\Sigma F\cdot \mathbf{n}\ \mathrm{d}S \end{aligned} \]

其中，\(\mathbf{n}\) 是曲面微元的單位外法向量，\(\alpha\ \beta \ \gamma\) 為 \(\mathbf{n}=(\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma)\) 中定義。

計算第二類曲面積分，通常會使用被積曲面的各類對稱性。一般地，求解時還是利用 \(x,y,z\) 空間的曲面微元投射到 \(u,v\) 空間，然后對 \(2\) - 形式進行積分。

\[\begin{aligned} \mathrm{d}\mathbf{S} &= (\mathrm{d}y\mathrm{d}z, \mathrm{d}z\mathrm{d}x, \mathrm{d}x\mathrm{d}y) \\ &= \left( \frac{\part(y,z)}{\part(u,v)},\frac{\part(z,x)}{\part(u,v)},\frac{\part(x,y)}{\part(u,v)} \right)\mathrm{d}u\mathrm{d}v \\ &= \pm\sqrt{EG-F^2}\ \mathbf{n}\ \mathrm{d}u\mathrm{d}v \\ &= \pm \mathbf{n}\ \mathrm{d}S \\ \end{aligned} \]

所以有：

\[\begin{aligned} \int_\Sigma F\cdot \mathrm{d}\mathbf{S} &= \int_\Sigma P \mathrm{d}y\mathrm{d}z+Q\mathrm{d}z\mathrm{d}x+R\mathrm{d}x\mathrm{d}y \\ &= \pm\int_{\Sigma'} \left[P\frac{\part(y,z)}{\part(u,v)}+Q\frac{\part(z,x)}{\part(u,v)}+R\frac{\part(x,y)}{\part(u,v)}\right] \mathrm{d}u\mathrm{d}v \\ \end{aligned} \]

式子中的 \(\pm\) 可以利用外法方向向量 \(\mathbf{n}\) 和有向被積曲面 \(\Sigma\) 方向是否一致來判斷（一致則取正）。上式中 \(\Sigma'\) 是曲面 \(\Sigma\) 在 \(u,v\) 空間上的投影。

四、常見公式

一維 \(1\) - 形式 \(\Leftrightarrow\) \(0\) - 形式：

\(\text{Newton-Leibniz}\) 公式

\[\int_a^b f'(x) \mathrm{d}x = f(x)|_a^b \]

二維 \(2\) - 形式 \(\Leftrightarrow\) \(1\) - 形式：

\(\text{Green}\) 公式

\[\iint_{D}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) \mathrm{d} x \mathrm{d} y=\oint_{\part D} P \mathrm{d} x+Q \mathrm{d} y \]

其中左端為標准 \(2\) - 形式，可利用外微分對右端 \(1\) - 形式求導獲得。

三維 \(3\) - 形式 \(\Leftrightarrow\) \(2\) - 形式：

\(\text{Gauss}\) 公式

\[\iiint_{V} \nabla \cdot \boldsymbol{F}\ \mathrm{d} V=\iint_{\partial V} \boldsymbol{F} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{S} \]

三維 \(2\) - 形式 \(\Leftrightarrow\) \(1\) - 形式：

\(\text{Stokes}\) 公式

\[\iint_{\Sigma}\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\right) \mathrm{d} y \mathrm{d} z+\left(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}\right) \mathrm{d} z \mathrm{d} x+\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) \mathrm{d} x \mathrm{d} y = \oint_{\part\Sigma} \boldsymbol{F} \cdot \mathrm{d}\mathbf{s} \]

其中左端為標准 \(2\) - 形式，可利用外微分對右端 \(1\) - 形式求導獲得。

五、廣義Stokes公式

廣義 \(\text{Stokes}\) 公式：

\[\int_{\partial \Omega} \omega=\int_{\Omega} \mathrm{d} \omega \]

其中的微分算符為外微分。

利用廣義 \(\text{Stokes}\) 公式，可以導出第四節中全部公式。