查找算法(4)--Fibonacci search--斐波那契查找

1.斐波那契查找

(1)說明

　　在介紹斐波那契查找算法之前，我們先介紹一下很它緊密相連並且大家都熟知的一個概念——黃金分割。

　　黃金比例又稱黃金分割，是指事物各部分間一定的數學比例關系，即將整體一分為二，較大部分與較小部分之比等於整體與較大部分之比，其比值約為1:0.618或1.618:1。

　　0.618被公認為最具有審美意義的比例數字，這個數值的作用不僅僅體現在諸如繪畫、雕塑、音樂、建築等藝術領域，而且在管理、工程設計等方面也有着不可忽視的作用。因此被稱為黃金分割。

　　大家記不記得斐波那契數列：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89…….（從第三個數開始，后邊每一個數都是前兩個數的和）。然后我們會發現，隨着斐波那契數列的遞增，前后兩個數的比值會越來越接近0.618，利用這個特性，我們就可以將黃金比例運用到查找技術中。

　　(2)基本思想

也是二分查找的一種提升算法，通過運用黃金比例的概念在數列中選擇查找點進行查找，提高查找效率。同樣地，斐波那契查找也屬於一種有序查找算法。

相對於折半查找，一般將待比較的key值與第mid=（low+high）/2位置的元素比較，比較結果分三種情況：

　　[1]相等，mid位置的元素即為所求

　　[2]>，low=mid+1;

       [3]<，high=mid-1。

斐波那契查找與折半查找很相似，他是根據斐波那契序列的特點對有序表進行分割的。他要求開始表中記錄的個數為某個斐波那契數小1，及n=F(k)-1;

 開始將k值與第F(k-1)位置的記錄進行比較(及mid=low+F(k-1)-1),比較結果也分為三種

　　[1]相等，mid位置的元素即為所求

　　[2]>，low=mid+1,k-=2;

　　說明：low=mid+1說明待查找的元素在[mid+1,high]范圍內，k-=2 說明范圍[mid+1,high]內的元素個數為n-(F(k-1))= Fk-1-F(k-1)=Fk-F(k-1)-1=F(k-2)-1個，所以可以遞歸的應用斐波那契查找。

　　[3]<，high=mid-1,k-=1。

　　說明：low=mid+1說明待查找的元素在[low,mid-1]范圍內，k-=1 說明范圍[low,mid-1]內的元素個數為F(k-1)-1個，所以可以遞歸 的應用斐波那契查找。

(3)復雜度分析

　　最壞情況下，時間復雜度為O(log2n)，且其期望復雜度也為O(log2n)。

2.代碼

public final static int MAXSIZE = 20;
/**
 * 斐波那契數列
 *
 * @return
 */
public static int[] fibonacci() {
    int[] f = new int[MAXSIZE];
    int i = 0;
    f[0] = 1;
    f[1] = 1;
    for (i = 2; i < MAXSIZE; i++) {
        f[i] = f[i - 1] + f[i - 2];
    }
    return f;
}

public static int fibonacciSearch(int[] data, int key) {
    int low = 0;
    int high = data.length - 1;
    int mid = 0;
    //斐波那契分割數值下標
    int k = 0;
    //序列元素個數
    int i = 0;
    // 獲取斐波那契數列
    int[] f = fibonacci();
    //獲取斐波那契分割數值下標
    while (data.length > f[k] - 1) {
        k++;
    }
    //創建臨時數組
    int[] temp = new int[f[k] - 1];
    for (int j = 0; j < data.length; j++) {
        temp[j] = data[j];
    }
    //序列補充至f[k]個元素
    //補充的元素值為最后一個元素的值
    for (i = data.length; i < f[k] - 1; i++) {
        temp[i] = temp[high];
    }
    //打印
    for (int j : temp) {
        System.out.print(j + " ");
    }
    System.out.println();
    //開始查找
    while (low <= high) {
        // low：起始位置
        // 前半部分有f[k-1]個元素，由於下標從0開始
        // 則-1 獲取 黃金分割位置元素的下標
        mid = low + f[k - 1] - 1;

        if (temp[mid] > key) {
            // 查找前半部分，高位指針移動
            high = mid - 1;
            // （全部元素） = （前半部分）+（后半部分）
            //   f[k]  =  f[k-1] + f[k-1]
            // 因為前半部分有f[k-1]個元素，所以 k = k-1
            k = k - 1;
        } else if (temp[mid] < key) {
            // 查找后半部分，高位指針移動
            low = mid + 1;
            // （全部元素） = （前半部分）+（后半部分）
            //   f[k]  =  f[k-1] + f[k-1]
            // 因為后半部分有f[k-1]個元素，所以 k = k-2
            k = k - 2;
        } else {
            //如果為真則找到相應的位置
            if (mid <= high) {
                return mid;
            } else {
                //出現這種情況是查找到補充的元素
                //而補充的元素與high位置的元素一樣
                return high;
            }
        }
    }
    return -1;
}

public static void main(String[] args) {
    int[] f = fibonacci();
    for (int i : f) {
        System.out.print(i + " ");
    }
    System.out.println();
    int[] data = {1, 5, 15, 22, 25, 31, 39, 42, 47, 49, 59, 68, 88};
    int search = 39;
    int position = fibonacciSearch(data, search);
    System.out.println("值" + search + "的元素位置為：" + position);
}