歐幾里得算法（Euclidean Algorithm）

預備知識（不嚴謹定義）

整除：簡單來說， \(a = nb\)， 則有\(b|a\)，讀作b整除a

約數(divisor)：上面整除的例子里，b就是a的約數，公約數就是多個數的共有約數，如2就是4、6、8的公約數

最大公約數（greast common divisor， 簡稱gcd)：顧名思義，公約數里最大的一個，設\(gcd(a,b)=m\)，則任取a、b的公約數c，有\(c <= m\),需要注意的是，最大公約數往往是整數，特殊的：

• 若\(b|a\)， 則\(gcd(a, b)=b\)
• 任取整數\(n\)，有\(gcd(0, n)=n\)

互素(relatively prime)：兩個數的最大公約數是1，那么我們就稱這兩個數的互素的

如果我們要求最大公約數，我們先來想一下最簡單的思路。

假設\(a>b\)，我們使用暴力求解的方式，從1開始，設置一個變量存儲最大公約數值，每發現一個既能整除a又能整除b的數，將其置為最大公約數，直到遍歷到b為止。粗一看，時間復雜度也並不很高，似乎也是可行的方法。但實際上，在實際的密碼學程序中，需要大量的這類操作，並且操作的數往往是非常大的數，這時，這種方法就顯得十分低效，而歐幾里德方法就是為了能夠高效的求取最大公約數。

歐幾里德算法

首先我們來看，設

\[a = q*b+r \\d = gcd(a, b) \]

那么\(r = a-q*b\)，由於\(d|a、d|b\)，則有\(d|(a-q*b)=r\)，即d也是b和r的最大公約數，此外，又有\(b>r => b=q_1*r+r_1\)以此類推，就得到了我們的歐幾里德算法。

算法描述為：

1. 將輸入置為\(a>b\)
2. 令\(a=q*b+r\)
3. 若\(r=0\)，則\(gcd(a,b)=b\)
4. 否則，令\(a := b, b := r\)， 注意這里的:=是賦值操作，重復2

建議自己模擬一下，易於理解！

歐幾里德算法的實現

# 加減法的實現對計算機的計算方式更友善
def gcd1(a, b):
    a, b = max(a, b), min(a, b)
    while a != b:
        a, b = max(b, a-b), min(b, a-b)
    return a

def gcd2(a, b):
    a, b = max(a, b), min(a, b)
    while a % b != 0:
        a, b = b, a%b
    return b

實用的歐幾里德算法

上面只是歐幾里德算法的直接實現，效率較低，不能滿足實際環境的需要。

通常的生產代碼中使用的最大公約數算法是一種稱作binary GCD的算法，其算法描述如下，

openssl中使用的BN_gcd便使用了該算法