題意簡述
小 $A$ 與小 $B$ 在玩游戲，已知小 $A$ 贏 $n$ 局，小 $B$ 贏 $m$ 局，沒有平局情況，且贏加一分，輸減一分，而若只有 $0$ 分仍輸不扣分。
已知小 $A$ 每次贏得概率為 $p$ ，問小 $A$ 得分期望。 $T$ 組數據。
$T,n,m\leq 2.5\times 10^5$
$solution:$
因為贏場輸場已經固定，所以 $p$ 其實是沒有用，則現在考慮計算小 $A$ 得分總和。
將贏輸場前綴和，記為 $\{s\}$，則得分為 $n-m-min\{s\}$ 。假設所有 $-1$ 均有意義，則分數為 $n-m$ 。
設 $min\{s\}=x$，則第一次出現 $-1,-2,…,x$ 均無意義因為當時得分前為 $0$ 而又被 $-1$，無意義，共出現 $|x|$ 次情況，即得分為 $n-m-min\{s\}$。
所以現在的問題轉化為給定 $n$ 個 $1$ 與 $m$ 個 $-1$ ，問最小前綴和為 $w$ 的方案數。
基本操作，將問題轉化為平面移動問題。
若要求最小前綴和為 $w$ 的方案數，可以表示為從 $(0,0)$ 走到 $(n,m)$ 的方案數，每次往上或左走一步求經過 $y=x+w$ 但不能經過 $y=x+w+1$ 直線的方案數。
考慮求從 $(1,1)$ 到 $(n,m)$ 經過 $y=x+w$ 的方案數，可以將第一次經過 $y=x+w$ 的交點之前部分對 $y=x+w$ 對稱，則 $(0,0)$ 對稱到 $(-w,w)$ ，可以發現每次從 $(-w,w)$ 到 $(n,m)$ 經交點對稱后對應一條合法路徑，則其方案數為 $\dbinom{n+m}{n+w}$ 。
通過簡單容斥原理得到若最小前綴和為 $w$ 的方案數為 $\dbinom{n+m}{n+w}-\dbinom{n+m}{n+w+1}$ 。
考慮贏 $n$ 場輸 $m$ 場的得分，得分區間為 $[max\{0,n-m\},n]$ 。
分類討論 $n,m$ 大小。
若 $n\geq m$ ，則得分區間在 $[n-m,n]$ , $min\{s\}\in [-m,0]$。
$$Ans=\sum_{i=0}^{m} (n-m+i) (\dbinom{n+m}{n+i}-\dbinom{n+m}{n+i+1})\\=(n-m) \sum_{i=0}^m(\dbinom{n+m}{n+i}-\dbinom{n+m}{n+i+1}) +\sum_{i=0}^m i\times (\dbinom{n+m}{m-i}-\dbinom{n+m}{m-i-1})\\=(n-m)\dbinom{n+m}{n}+\sum_{i=0}^{m-1} \dbinom{n+m}{i}$$
若 $n<m$ ，則同理 $min\{s\}\in [{-m,n-m}]$
$$Ans=\sum_{i=m-n}^m (n-m+i)\times\dbinom{n+m}{m-i}-\dbinom{n+m}{m-i-1}\\=(n-m)\dbinom{n+m}{n}+\sum_{i=m-n}^m i\times \dbinom{n+m}{m-i}-\sum_{i=m-n}^{m-1} i\times \dbinom{n+m}{m-i-1}\\=(n-m)\dbinom{n+m}{n}+(m-n)\dbinom{n+m}{n}+\sum_{i=m-n+1}^m i\times \dbinom{n+m}{m-i}-\sum_{i=m-n}^{m-1} i\times \dbinom{n+m}{m-i-1}\\=\sum_{i=m-n+1}^{m-1} i\times\dbinom{n+m}{m-i}-\sum_{i=m-n+1}^{m} (i-1)\times \dbinom{n+m}{m-i+1}\\=\sum_{i=m-n+1}^{m} \dbinom{n+m}{m-i}\\=\sum_{i=0}^{n-1}\dbinom{n+m}{i}$$
可以發現現在的問題為如何快速求 $F(n,k)=\sum_{i=0}^k \dbinom{n}{i}$
可以發現 $F(n,k)=\sum_{i=0}^k \dbinom{n-1}{i-1}+\dbinom{n-1}{i}=2\times F(n-1,k)-\dbinom{n-1}{k}$ 。即 $F(n,k)$ 與 $F(n-1,k)$ 和 $F(n,k-1)$ 都有遞推關系。
直接將答案離線后莫隊計算即可。
時間復雜度 $O((n+m)\sqrt{n+m})$ 。
#include<iostream> #include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> #include<cmath> #define int long long #define mod 1000000007 using namespace std; inline int read(){ int f=1,ans=0;char c=getchar(); while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')f=-1;c=getchar();} while(c>='0'&&c<='9'){ans=ans*10+c-'0';c=getchar();} return ans*f; } const int MAXN=500001; struct Query{ int l,r,bl,id; }query[MAXN],tmp[MAXN]; bool cmp(Query x1,Query x2){ if(x1.bl!=x2.bl) return x1.l<x2.l; if(x1.bl&1) return x1.r<x2.r; return x1.r>x2.r; } int T,p,Ans[MAXN],inv[MAXN],ifac[MAXN],fac[MAXN]; inline void init(){ fac[0]=1;for(int i=1;i<MAXN;++i) fac[i]=fac[i-1]*i,fac[i]%=mod; inv[1]=1;for(int i=2;i<MAXN;++i) inv[i]=(mod-mod/i)*inv[mod%i],inv[i]%=mod; ifac[0]=1;for(int i=1;i<MAXN;++i) ifac[i]=ifac[i-1]*inv[i],ifac[i]%=mod; return; } inline int C(int a,int b){if(a<b) return 0;return (((fac[a]*ifac[b])%mod)*ifac[a-b])%mod;} inline int F(int a,int b){return (((fac[b]*fac[a-b])%mod)*ifac[a])%mod;} inline int ksm(int a,int b){ int ans=1; while(b){ if(b&1) ans*=a,ans%=mod; a*=a,a%=mod;b>>=1; }return ans; } int blo,bl[MAXN],l,r,ans,inv2; int Mod(int x){return ((x%mod)+mod)%mod;} signed main(){ // freopen("20.in","r",stdin); init(); T=read(),p=read();blo=501; for(register int i=0;i<MAXN;++i) bl[i]=(i-1)/blo+1; for(register int i=1;i<=T;++i){ int n=read(),m=read(); if(n>=m) Ans[i]=(n-m)*C(n+m,n),query[i].l=n+m,query[i].r=m-1,query[i].bl=bl[query[i].l]; else query[i].l=n+m,query[i].r=n-1,query[i].bl=bl[query[i].l]; query[i].id=i; tmp[i].l=n,tmp[i].r=m; }sort(query+1,query+T+1,cmp); l=0,r=0,ans=1;inv2=ksm(2,mod-2); for(register int i=1;i<=T;++i){ while(l<query[i].l) ans=Mod(2*ans-C(l,r)),l++; while(l>query[i].l) ans=Mod(Mod(ans+C(l-1,r))*inv2),l--; while(r<query[i].r) ans+=C(l,r+1),ans=Mod(ans),r++; while(r>query[i].r) ans-=C(l,r),ans=Mod(ans),r--; Ans[query[i].id]+=ans,Ans[query[i].id]%=mod; } for(register int i=1;i<=T;++i){Ans[i]*=F(tmp[i].l+tmp[i].r,tmp[i].l);Ans[i]%=mod;} for(register int i=1;i<=T;++i) printf("%lld\n",Ans[i]); return 0; }