博弈論
理論鋪墊：
定義P-position和N-position：其中P代表Previous，N代表Next。直觀的說，上一次move的人有必勝策略的局面是P-position，即P-position代表先手必輸，N-position代表先手必贏。
1.公平組合博弈(ICG)
定義：
1.兩個人輪流參與； 2.游戲局面有限； 3.同一個局面兩個人操作完全相同； 4.無法進行操作的人輸； 5.在有限步內結束。
模型：給定一個有向無環圖和一個起始頂點上的一枚棋子，兩名選手交替的將這枚棋子沿有向邊進行移動，無法移動者判負。
解題思路：SG函數（Sprague-Grudy）
SG定理：
1：給定一個有限子集 S ⊂ N,令mex S為沒有出現在S中的最小自然數。例：mex{0,1,2,4}=3、mex{2,3,5}=0、mex{}=0。
2：對於一個給定的有向無環圖，定義關於圖的每個頂點的Sprague-Garundy函數g如下：sg(x)=mex{ sg(y) | y是x的后繼 }。即y可以一步操作到x;
SG函數性質：
1：SG值為0必敗態， 否則為必勝態
2：對於一個sg(x)=0的頂點x，它的所有后繼y都滿足g(y)!=0。同理，對於一個sg(x)!=0的頂點，必定存在一個后繼y滿足g(y)=0。
例：有三堆石子，第一堆石子的可以取1、2、3個石子，則:sg[x] = x % 4；第二堆可以取奇數個石子，則sg[x] = n % 2；第三堆有n個石子，其為Nim博弈，sg值為n，將三堆的sg值全部異或一下，判斷是不是0，是0則先手必敗（推廣到n堆其結論一樣適用）。
SG函數求法
其sg函數可以通過下面的模板來求：
//f[]：可以取走的石子個數
//sg[]:0~n的SG函數值
//hash[]:mex{}
int f[N],sg[N],hash[N];
void getSG(int n)
{
int i,j;
memset(sg,0,sizeof(sg));
for(i=1;i<=n;i++)
{
memset(hash,0,sizeof(hash));
for(j=1;f[j]<=i;j++)
hash[sg[i-f[j]]]=1;
for(j=0;j<=n;j++) //求mes{}中未出現的最小的非負整數
{
if(hash[j]==0)
{
sg[i]=j;
break;
}
}
}
}
記憶化搜索求SG函數，判斷該點的sg值是否為-1，如果是，則調用函數：
//注意 S數組要按從小到大排序 SG函數要初始化為-1 對於每個集合只需初始化1遍
//n是集合s的大小 f[i]是定義的特殊取法規則的數組
int s[110],sg[10010],n;
void SG_dfs(int x)
{
int i;
if(sg[x]!=-1)
return;
bool vis[maxn];
memset(vis,0,sizeof(vis));
for(i=1;i<=k;i++)
{
if(x>=f[i])
{
if(sg[x-f[i]]==-1)
SG_dfs(x-f[i]);
vis[sg[x-f[i]]]=1;
}
}
int e;
for(i=0;;i++)
if(!vis[i])
{
sg[x]=i;
break;
}
}
AC代碼：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=1e4+5;
int f[101],sg[maxn];
int k,T,tot=0,temp,inf;
void SG_dfs(int x)
{
int i;
if(sg[x]!=-1)
return;
bool vis[maxn];
memset(vis,0,sizeof(vis));
for(i=1;i<=k;i++)
{
if(x>=f[i])
{
if(sg[x-f[i]]==-1)
SG_dfs(x-f[i]);
vis[sg[x-f[i]]]=1;
}
}
int e;
for(i=0;;i++)
if(!vis[i])
{
sg[x]=i;
break;
}
}
int main()
{
//ios::sync_with_stdio(false);
while(scanf("%d",&k)&&k)
{
//memset(f,0,sizeof(f));
memset(sg,-1,sizeof(sg));
sg[0]=0;
for(int i=1;i<=k;++i){
scanf("%d",&f[i]);
}
//sort(f+1,f+k+1);
scanf("%d",&T);
while(T--)
{
tot=0;
scanf("%d",&temp);
for(int i=1;i<=temp;++i){
scanf("%d",&inf);
if(sg[inf]==-1)
SG_dfs(inf);
tot^=sg[inf];
}
!tot?cout<<"L":cout<<"W";
}
cout<<endl;
}
system("pause");
return 0;
}
2.Bash（巴什博弈）
定義：有一堆共n個物品，兩個人輪流從中間取，每次最多取m個物品，先取完的人贏。
解題思路：n對（m+1）取模，模不為0，則先手必勝，模為0，則先手必敗（由SG函數知）。
3.Nim博弈（尼姆博弈）
定義：有n堆物品，兩人輪流從每堆中取物品，每次最少取一個，無上限，先取完者勝利。
解題思路：所有堆的個數相異或，如果結果為0，則先手必敗，不為0則先手必勝。必勝走法的方案數：將總的異或結果同每一堆相異或，如果結果小於該堆的數量，則可以從該堆取出x-x^tot個；
4.Wythoff Game（威佐夫博弈）
定義：有兩堆若干個物品，兩人輪流從一堆中取若干的物品或兩堆取同樣多的額物品，至少取一個，先取完的為勝。
解題思路：令當前局勢(Ak,Bk)，則當前態勢為先手必敗態當且僅當Ak=((sqrt(5)+1)/2)*k、Bk=Ak+k;取出多少個則直接暴力循環判斷是不是必敗態即可
5.Fibonacci博弈
定義：有一堆個數為n的石子，雙方輪流取石子，先手不能一次把所有石頭取完，且后者取得石子的數目不能超過前者所取數目的2倍（可以包含1和2倍）。
解題思路：判斷該數是不是裴波那契數列，如果是，則先手必敗，否則先手必勝。