Multi-Nim
從最簡單的Nim模型開始
它的定義是這樣的
有\(n\)堆石子，兩個人可以從任意一堆石子中拿任意多個石子(不能不拿)或把一堆數量不少於\(2\)石子分為兩堆不為空的石子，沒法拿的人失敗。問誰會勝利
博弈分析
這個問題的本質還是Nim游戲，可以利用SG定理來解釋
通過觀察不難不發現，操作一與普通的Nim游戲等價
操作二實際上是將一個游戲分解為兩個游戲，根據SG定理，我們可以通過異或運算把兩個游戲連接到一起，作為一個后繼狀態
煮個栗子
SG(3)的后繼狀態有\(\{ (0),(1),(2),(1,2) \}\)他們的SG值分別為\(\{ 0,1,2,3 \}\)，因此\(SG(3)=mex\{ 0,1,2,3 \}=4\)
另外這種游戲還有一個非常神奇的性質
\[SG\left( x\right) =\begin{cases}x-1\left( x\mod4=0\right) \\ x\left( x\mod4=1 \lor 2\right) \\ x+1\left( x\mod4=3\right) \end{cases} \]
然后把這個結論背過就好啦233
Multi-SG
根據上面的游戲，我們定義Multi-SG游戲
- Multi-SG 游戲規定，在符合拓撲原則的前提下，一個單一游戲的
后繼可以為多個單一游戲。 - Multi-SG其他規則與SG游戲相同。
注意在這里要分清楚后繼與多個單一游戲
對於一個狀態來說，不同的划分方法會產生多個不同的后繼，而在一個后繼中可能含有多個獨立的游戲
一個后繼狀態的SG值即為后繼狀態中獨立游戲的異或和
該狀態的SG值即為后繼狀態的SG值中未出現過的最小值
例題
難度跨度好大啊QWQ。。
直接放題解吧