前言
在上一節中，我們初步了解了一下SG函數與SG定理。
今天我們來分析一下SG游戲的變式——Anti-SG游戲以及它所對應的SG定理
首先從最基本的Anti-Nim游戲開始
Anti-Nim游戲是這樣的
有兩個頂尖聰明的人在玩游戲，游戲規則是這樣的：
有\(n\)堆石子，兩個人可以從任意一堆石子中拿任意多個石子(不能不拿)，拿走最后一個石子的人失敗。問誰會勝利
博弈分析
Anti-Nim游戲與Nim游戲唯一的不同就是兩人的勝利條件發生了改變，不過這並不影響我們對結論的推導
對於這個游戲，先手必勝有兩種情況
- 當
每堆石子都只有一個，且游戲的SG值為\(0\) 至少一堆石子多於一個，且游戲的SG值不為\(0\)
粗略的證明一下
游戲大概可以被分為\(3\)種情況
- 每堆只有一個石子
- 當異或值為\(0\)時，先手必勝
- 當異或值不為\(0\)時，先手必敗
- 只有一堆石子數大於1，先手必勝
經過分析不難發現，先手可以對數量大於1的那堆石子下手腳，從而構造出后手必敗的狀態
- 存在至少兩堆石子數大於1
- 當異或和為0時，先手必敗
- 當異或和不為0時，先手必敗
這一步的結論與Nim游戲非常相似，同時它們的證明也非常相似，大概就是從異或和為\(0\)的狀態無論怎樣都會變為異或和不為\(0\)的狀態，反過來從異或和不為\(0\)的狀態總有一步能到達異或和為\(0\)的狀態
推廣
按照我們學習SG函數的思路，我們是否可以把Anti-Nim游戲推廣開來呢？
答案是肯定的
定義Anti-SG游戲
- Anti-SG游戲規定：決策集合為空的游戲者贏
- 其余規則與SG游戲相同
同時我們定義SJ定理
對於Anti-SG游戲，如果我們規定當局面中所有單一游戲的SG值為0時，游戲結束，則先手必勝當且僅當
- 游戲的SG函數不為0且游戲中某個單一游戲的SG函數值大於1
- 游戲的SG函數為0且沒有某個單一游戲的SG函數大於1
證明與SG函數類似，
不追求完美的可以從DAG上歸納
追求完美的可以用模仿棋證明出該游戲的等價性然后推出該游戲是可數集合然后通過計算推出在模\(2\)意義下線性空間的基可以為\(nim(0),nim(1)\)最后歸納證明一個后繼是若干Anti-nim游戲的游戲等價於\(mex(S)\)
例題
按照whx老師的說法
Anti-SG不怎么重要，我至今為止就做到過一道題
那道題在這兒