說到自己，就是個笑話。思考問題從不清晰，sg函數的問題證明方法就在眼前可卻要棄掉。不過自己理解的也並不透徹，做題也不太行。耳邊時不時會想起alf的：“行不行！”
基本的小概念
- 這里我們討論的是公平游戲（ICG游戲：Impartial Combinatorial Games），滿足：
1.雙方每步的限制相同（輪流）
2.游戲有盡頭 - 對於當前局面的玩家如果能有必勝策略，那就是N局面（反之，P局面）
SG函數
- 每一種決策以及后面的所有可能可以抽象成有向無環圖，而sg函數的計算就類似圖上dp的過程。
- 若當前的局面是now,下一步的局面為to
\(SG[now]=Mex(SG[to])\)
\(Mex(S)\)表示，最小的沒有在\(S\)集合里的非負整數
這就是SG的定義了，這很迷糊，因為它就是一個當前局面的估價，很難說它具體是什么意義（甚至后面還會用它來運算就離譜） - 顯然的性質
1.SG[now]后面存在了sg為0的局面，now就為N局面，你接下來你的操作也會move到\(sg[to]=0\)這種局面。
2.1的反之。
3.SG為0表示當前局面P，否則為N。（ps.三個點就是一個結論，3總結1，2） - Muiti-SG的性質（見nim游戲后）
nim游戲
- 這是最基本最重要的游戲，理解它后，你將入門博弈。
- 規則：兩個人玩nim游戲，有n堆石子，每堆有\(a_i\)個，每次可從一堆中取走任意多個石子。如果一個人無石子可取就輸。
- 結論：\(xorsum\ =\ a_1\ xor\ a_2\ xor\ a_3\ xor\ ...\ xor\ a_n\)是0就為P局面，否則N局面。
- 證明：如果xorsum=0，取后xorsum!=0; 如果xorsum!=0,一定存在從一堆（堆i)取走\(a_i-xorsum\ xor\ a_i\)個石子，使取后\(xorsum=0\)
然后最終輸的狀態為全0，這是xorsum=0的。而如果一開始為xorsum=0一定被拿捏，一直xorsum=0直到輸掉（對面就一直使你xorsum=0) - 這時，你肯定會想：用sg暴力做呢？狀態存不下啊。當然就引出了后面有關sg的重要推論……
不過對於只有一堆（或者想成n堆每堆獨立）\(sg[i]=i\)的。（i為還剩的石子個數）
重要推論
- 從上面，或許我們能猜想：
S局面被拆分成\(n\)個相互獨立的小局面，（我們這里叫S為\(s_1->s_n\)的游戲和，滿足：
\(SG[S]\ =\ SG[s_1]\ xor\ SG[s_2]\ ....\ xor\ SG[s_n]\)
這個對於公平游戲來講，居然是正確的。證明?-> - 證明：
我們通常遇到博弈想最終態（P態為多，因為sg=0)
當然是所有sg值全為0的時候。
你每次只能轉移一個小局面(一堆石子），它能轉移到0~sg[i]-1以及sg[i]+k,k是不確定的。
你發現如果沒有sg[i]+k我們可以用nim游戲來證明。
如果有，相當於加石子，實質上還是符合nim游戲證明中的異或和總是=0和!=0相交替。
加和減因此也沒有實質區別，就得證。 - ps.老板告訴我們可以把任何ICG問題轉化為相同sg值（=石子個數）的nim游戲。
小結：
nim類，或者ICG類都感覺核心就用到以上幾個結論。不過我太菜了，還是做不來題。博弈論還有很多值得探索，不過現實中人也沒有那么理性，很多時候也用不到。
有趣題目：
1.字符游戲
- 思路：首先01串+構造長度為L+前綴關系，很容易想到trie樹。
因為“互異”，所以每次更新trie樹從根開始的一條鏈，鏈葉的子樹里的點下次就不可以被選擇了。
然后我們通過畫圖找規律，然后每個點的SG值為lowbit（子樹深度），畫一下就知道了 - 代碼：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e5+5;
typedef long long ll;
int go[N][2],nd;
ll lowbit(ll u) {return u&(-u);}
ll ans=0;
char s[N];
void Insert() {
int u=0,len=strlen(s);
for(int i=0;i<len;i++) {
int x=s[i]-'0';
if(!go[u][x]) go[u][x]=++nd;
u=go[u][x];
}
}
void dfs(int u,ll dep) {
if(go[u][0]) dfs(go[u][0],dep-1);
else ans^=lowbit(dep);
if(go[u][1]) dfs(go[u][1],dep-1);
else ans^=lowbit(dep);
}
int main() {
int n;ll l;
scanf("%d%lld",&n,&l);
for(int i=1;i<=n;i++) {
scanf("%s",s);
Insert();
}
dfs(0,l);
if(ans)printf("Alice");
else printf("Bob");
return 0;
}