本文復習一下回溯法，包括遞歸型和非遞歸型，通過下面 2 個例子來解析回溯法：
- 全排列問題
- n 皇后問題
- 三着色問題
回溯法
在許多遞歸問題當中，我們采取的方法都是窮盡所有的可能，從而找出合法的解。但是在某些情況下，當遞歸到某一層的時候，根據設置的判斷條件，可以 judge 此解是不合法的。在這種情況下，我們就沒必要再進行深層次的遞歸，從而可以提高算法效率。這一類算法我們稱為“回溯法”，設置的判斷條件稱為“剪枝函數”。
回溯法的遞歸形式：
Input : X = {X1, X2, ..., Xn}
Output: T = (t1, t2, ..., tn)
back-track-rec(int now)
{
for x0 in X
{
T[now] = x0
if (T[0...now] is valid) //如果有效則進行，否則嘗試下一個x0
{
if (now == n) //是完整解
{
print(T[1...now]);
return;
}
else if (now < n) //是部分解
{
back-track-rec(now+1);
}
}
}
}
在可計算理論中，有這么一個結論：
所有的遞歸函數都能轉換為迭代，但迭代不一定能轉換為遞歸。
我們知道，C語言當中，函數調用是通過棧來實現的。遞歸實質是不斷進行函數調用，直至參數達到遞歸的邊界。所以，理論上，只要允許使用棧，那么回溯法就可以通過迭代實現。
回溯法的非遞歸形式：
Input : X = {X1, X2, ..., Xn}
Output: T = (t1, t2, ..., tn)
back-track-itor()
{
int top = 0;
while (top >= 0)
{
while T[top] 沒有取盡 X 中的元素
{
T[top] = next(X)
if (check(top) is valid)
{
if (top < N) //部分解
print();
else
top++;
}
}
reset(T[top])
top--
}
}
使用一句話來描述回溯法的思想：對於 T[i], 嘗試每一個 x0, 只要 T[i]=x0 有效，則對 T[i+1] 進行嘗試，否則回退到 T[i-1] .
全排列問題
給出一個 N ，輸出 N 的全排列。
首先，根據回溯法的遞歸形式的模板，可以寫出下面的代碼：
void backTrackRec2(int now)
{
for (int i = 1; i <= N; i++)
{
a[now] = i;
if (check(now))
{
if (now == N - 1)
{
print(N);
return;
}
else
{
backTrackRec2(now + 1);
}
}
}
}
而關鍵就是如何實現 check 函數去檢查是否當前填入的 i 是否有效，全排列的 check 函數很簡單：只需要 a[0...now-1] 都與 a[now] 不相等。
bool check(int now)
{
for (int i = 0; i < now; i++)
{
if (a[i] == a[now])
return false;
}
return true;
}
現在分析一下算法復雜度，對於每一個排列，需要對 a[0,...,(N-1)] 都執行一次 check，那么求解一個序列的復雜度為：
0 + 1 + 2 + ... + (n-1) = n(n-1)/2
現在思考如何把 check 的方法簡化：開一個長度為 N+1 的 bool 數組 table[] ，如果數字 k 已經被使用了，那么置 table[k] = true 。復雜度為 O(1) 。
void backTrackRec1(int a[], int N, int now)
{
if (now == N)
{
print(N);
return;
}
for (int x = 1; x <= N; x++)
{
if (table[x] == false)
{
a[now] = x, table[x] = true;
backTrackRec1(a, N, now + 1);
table[x] = false;
}
}
}
最后給出非遞歸形式的解法，a[] 相當於一個棧，k 是棧頂指針，k++ 表示進棧， k-- 表示出棧（也是回溯的過程）。
void backTrackItor()
{
int k = 0;
while (k >= 0)
{
while (a[k] < N)
{
a[k]++;
if (check(k))
{
if (k == N - 1)
{
print(N);
break;
}
else
{
k++;
}
}
}
a[k] = 0;
k--;
}
}
n 皇后問題
使用數組 pos[N] 來表示皇后的位置，pos[i] = j 表示第 i 個皇后在位置 (i,j) 。
首先來看遞歸形式的解法：
void backTrackRec(int now)
{
if (now == N)
{
print();
return;
}
for (int x = 0; x < N; x++)
{
pos[now] = x;
if (check(now))
{
backTrackRec(now + 1);
}
}
}
我們使用 pos 數組來記錄位置，已經能保證每個皇后在不同的行上。因此，在 check 函數當中，需要檢查新添的皇后是否有同列或者在對角線上（兩點斜率為 1 ）的情況。
bool check(int index)
{
for (int i = 0; i < index; i++)
{
if (pos[i] == pos[index] || abs(i - index) == abs(pos[i] - pos[index]))
return false;
}
return true;
}
再來看非遞歸的解法：
void backTrackItor()
{
int top = 0;
while (top >= 0)
{
while (pos[top] < N)
{
pos[top]++;
if (check(top))
{
if (top == N-1)
{
print();
break;
}
else
{
top++;
}
}
}
pos[top--] = 0;
}
}
本質上 n 皇后問題還是在做全排列的枚舉，但是因為 check 函數的不同，實際上空間復雜度要小一些。例如當出現：「1 2」 這種情況，就會被剪枝函數 check 裁去，不再進行深一層的搜索。
三着色問題
三着色問題是指：給出一個無向圖 G=(V,E), 使用三種不同的顏色為 G 中的每一個頂點着色，使得沒有 2 個相鄰的點具有相同的顏色。
首先，我們使用如下的數據結構：
map<int, vector<int>> graph; //圖的鄰接鏈表表示
int v, e; //點數，邊數
int table[VMAX]; //table[i]=0/1/2, 表示點 i 塗上顏色 R/G/B
很自然的想法，我們會窮舉每一個顏色序列，找出合法的解，假設有 3 個頂點，那么自然會這樣嘗試：
0 0 0
0 0 1
0 0 2
...
但是，這樣的窮舉並不是想要的結果，因為嘗試的過程中沒有加入 “沒有 2 個相鄰的點具有相同的顏色” 這樣的判斷。
還是直接套回溯法的模板：
void colorRec(int now)
{
for (int i = 0; i < NCOLOR; i++)
{
table[now] = i;
if (check(now))
{
if (now == v - 1) //完整解
{
print(v);
countRec++;
//不應有 return;
}
else
{
colorRec(now + 1);
}
}
}
table[now] = -1;
}
void colorItor()
{
int top = 0;
while (top >= 0)
{
while (table[top] < (NCOLOR - 1))
{
table[top]++;
if (check(top))
{
if (top == v - 1)
{
print(v);
countItor++;
// 不應有 break;
}
else
{
top++;
}
}
}
table[top--] = -1;
}
}
注意上面兩處的「不應有」，這是與全排列和 n 皇后有所區別的地方。為什么呢？
假設現有 4 個頂點：
A-----B
|
C-----D
一個合法的着色序列為：
0 1 2 0
如果對應的地方有 break 或者 return，那么上述序列就會回溯到「0 1 2」這個序列，但是實際上，在上面序列的基礎上繼續搜索，可以找到：
0 1 2 1
這也是一個合法的着色序列，如果加入 break 或 return ，這種情況就被忽略了。
附錄
3着色代碼
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <map>
#include <vector>
#define NCOLOR 3
#define VMAX 100
#define EMAX 200
using namespace std;
map<int, vector<int>> graph;
int v, e;
int table[VMAX]; //table[i]=R/G/B, 表示點 i 塗上顏色 R/G/B
int countRec = 0, countItor = 0;
bool check(int now)
{
for (int x : graph[now])
{
if (table[x] != -1 && table[x] == table[now])
return false;
}
return true;
}
void print(int len)
{
cout << "Point: ";
for (int i = 0; i < len; i++)
{
cout << i << ' ';
}
cout << endl;
cout << "Color: ";
for (int i = 0; i < len; i++)
{
cout << table[i] << ' ';
}
cout << "\n"
<< endl;
}
void colorRec(int now)
{
for (int i = 0; i < NCOLOR; i++)
{
table[now] = i;
if (check(now))
{
if (now == v - 1) //完整解
{
print(v);
countRec++;
//不應有 return;
}
else
{
colorRec(now + 1);
}
}
}
table[now] = -1;
}
void colorItor()
{
int top = 0;
while (top >= 0)
{
while (table[top] < (NCOLOR - 1))
{
table[top]++;
if (check(top))
{
if (top == v - 1)
{
print(v);
countItor++;
// 不應有 break;
}
else
{
top++;
}
}
}
table[top--] = -1;
}
}
int main()
{
memset(table, -1, sizeof(table));
cin >> v >> e;
int a, b;
for (int i = 0; i < e; i++)
{
cin >> a >> b;
graph[a].push_back(b);
graph[b].push_back(a);
}
// colorRec(0);
memset(table, -1, sizeof(table));
colorItor();
cout << countRec << " " << countItor << endl;
}
/*
Sample1:
5 7
0 1
0 2
1 3
1 4
2 3
2 4
3 4
*/
全排列代碼
#include <iostream>
#include <cstring>
#define MAXN 20
using namespace std;
int a[MAXN] = {0};
bool table[MAXN] = {0};
int N = 0;
void print(int n)
{
for (int i = 0; i < n; i++)
{
cout << a[i] << ' ';
}
cout << endl;
}
bool check(int now)
{
for (int i = 0; i < now; i++)
{
if (a[i] == a[now])
return false;
}
return true;
}
void backTrackRec1(int a[], int N, int now)
{
if (now == N)
{
print(N);
return;
}
for (int x = 1; x <= N; x++)
{
if (table[x] == false)
{
a[now] = x, table[x] = true;
backTrackRec1(a, N, now + 1);
table[x] = false;
}
}
}
void backTrackRec2(int now)
{
for (int i = 1; i <= N; i++)
{
a[now] = i;
if (check(now))
{
if (now == N - 1)
{
print(N);
return;
}
else
{
backTrackRec2(now + 1);
}
}
}
}
void backTrackItor()
{
int k = 0;
while (k >= 0)
{
while (a[k] < N)
{
a[k]++;
if (check(k))
{
if (k == N - 1)
{
print(N);
break;
}
else
{
k++;
}
}
}
a[k] = 0;
k--;
}
}
int main()
{
N = 3;
for (int i = 1; i <= N; i++)
{
a[i - 1] = 0;
}
// backTrackRec1(a, N, 0);
// backTrackRec2(0);
backTrackItor();
}
n皇后代碼
#include <iostream>
using namespace std;
#define N 8
int count = 0;
int pos[N] = {0};
void print()
{
count++;
for (int i = 0; i < N; i++)
{
int r = i;
int c = pos[i];
for (int i = 0; i < c; i++)
cout << "* ";
cout << "Q ";
for (int i = c + 1; i < N; i++)
cout << "* ";
cout << endl;
}
cout << endl;
}
bool check(int index)
{
for (int i = 0; i < index; i++)
{
if (pos[i] == pos[index] || abs(i - index) == abs(pos[i] - pos[index]))
return false;
}
return true;
}
void backTrackRec(int now)
{
if (now == N)
{
print();
return;
}
for (int x = 0; x < N; x++)
{
pos[now] = x;
if (check(now))
{
backTrackRec(now + 1);
}
}
}
void backTrackItor()
{
int top = 0;
while (top >= 0)
{
while (pos[top] < N)
{
pos[top]++;
if (check(top))
{
if (top == N-1)
{
print();
break;
}
else
{
top++;
}
}
}
pos[top--] = 0;
}
}
int main()
{
// backTrackRec(0);
backTrackItor();
cout << count << endl;
}