Java算法——回溯法

回溯法
一種選優搜索法，又稱試探法。利用試探性的方法，在包含問題所有解的解空間樹中，將可能的結果搜索一遍，從而獲得滿足條件的解。搜索過程采用深度遍歷策略，並隨時判定結點是否滿足條件要求，滿足要求就繼續向下搜索，若不滿足要求則回溯到上一層，這種解決問題的方法稱為回溯法。

回溯法解求解問題步驟

1. 針對給定問題，定義問題的解空間樹；
2. 確定易於搜索的解空間結構；
3. 以深度優先方式搜索解空間，並且在搜索過程中用剪枝函數避免無效搜索；
4. 用回溯法求解問題，重點是設計問題的解空間樹，其解題過程則是深度遍歷解空間樹的過程。

解空間樹
是依據待求解問題的特性，用樹結構表示問題的解結構、用葉子表示問題所有可能的解的一棵樹。

解空間樹的形成過程
我們可以把求解問題的過程當作一系列的決定來考慮，回溯法對每一個決定都系統地分析所有可能的結果。而每一次決定即為解空間樹中的一個分支結點，各種可能的結果便形成了各棵不同的子樹，問題最終所有可能的解將展現在所有的葉子上。這便是解空間樹的形成過程。

對解空間樹的遍歷可搜索到問題所有可能的解，因此，可獲得滿足要求的全部解，也可通過對所有解的比較選擇獲得最優解。

由於空間問題，下面給出一個三皇后問題的解空間樹（3皇后問題無解），樹中第i層的結點決定第i行皇后的擺放位置，均有三種不同的選擇，便形成了三個孩子結點，但其中不包括不符合要求的布局。N皇后問題解空間樹與三皇后問題解空間樹類似。

 

求解N皇后問題的回溯法
N皇后問題要求求解在N*N的棋盤上放置N個皇后，並使各皇后彼此不受攻擊的所有可能的棋盤布局。皇后彼此不受攻擊的約束條件是：任何兩個皇后均不能在棋盤上同一行、同一列或者同一對角線上出現。

由於N皇后問題不允許兩個皇后在同一行，所以，可用一維數組X表示N皇后問題的解，X[i]表示第i行的皇后所在的列號。例如一個滿足要求的四皇后棋盤布局如下圖所示，其結果X數組的值為：[2， 4， 1， 3]。

 

由上述X數組求解N皇后問題，保障了任意兩個皇后不在同一行上，而判定皇后彼此不受攻擊的其他條件，可以描述如下：
（1）X[i] = X[s]，則第i行與第s行皇后在同一列上。
（2）如果第i行的皇后在第j列，第s行皇后在第t列，即X[i] = j和X[s] = t，則只要i-j = s-t或者i+j = s+t，說明兩個皇后在同一對角線上。

對兩個等式進行變換后，得到結論：只要|i-s| = |j-t|（即i-s = X[i]-X[s]），則皇后在同一對角線上。

解N皇后問題需要遍歷解空間樹，遍歷中要隨時判定當前結點棋盤布局是否符合要求，符合要求則繼續向下遍歷，直至判斷得到一個滿足約束條件的葉子結點，從而獲得一個滿足要求的棋盤布局；不符合要求的結點將被舍棄（稱之為剪枝），並回溯到上一層的結點繼續遍歷。當整棵樹遍歷結束時，已獲得所有滿足要求的棋盤布局。

八皇后問題java實現：

public class Queen {
public static int num = 0; // 方案數
public static final int MAXQUEEN = 8; // 皇后數
public static int[] cols = new int[MAXQUEEN]; // 定義數組，表示MAXQUEEN列棋子中皇后擺放位置
/*
* @param n:填第n列的皇后
*/

public void getCount(int n) {
boolean[] rows = new boolean[MAXQUEEN];
for (int m = 0; m < n; m++) {
rows[cols[m]] = true;
int d = n - m;
// 正斜方向
if (cols[m] - d >= 0) {
rows[cols[m] - d] = true;
}
// 反斜方向
if (cols[m] + d <= (MAXQUEEN - 1)) {
rows[cols[m] + d] = true;
}
}
for (int i = 0; i < MAXQUEEN; i++) {
if (rows[i]) {
// 不能放
continue;
}
cols[n] = i;
// 下面仍然有合法位置
if (n < MAXQUEEN - 1) {
getCount(n + 1);
} else {
// 找到完整的一套方案
num++;
printQueen();
}
}
}

private void printQueen() {
System.out.println("第" + num + "種方案");
for (int i = 0; i < MAXQUEEN; i++) {
for (int j = 0; j < MAXQUEEN; j++) {
if (i == cols[j]) {
System.out.print("0 ");
} else {
System.out.print("+ ");
}
}
System.out.println();
}
}

public static void main(String[] args) {
Queen queen = new Queen();
queen.getCount(0);
}
}