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在依賴模型得出結論或預測未來結果之前，我們應盡可能檢查我們假設的模型是否正確指定。也就是說，數據不會與模型所做的假設沖突。對於二元結果，邏輯回歸是最流行的建模方法。在這篇文章中，我們將看一下 Hosmer-Lemeshow邏輯回歸的擬合優度檢驗。
Hosmer-Lemeshow擬合優度檢驗
Hosmer-Lemeshow擬合優度檢驗是基於根據預測的概率或風險將樣本分開。具體而言，基於估計的參數值，對於樣本中的每個觀察，基於每個觀察的協變量值計算概率。
然后根據樣本的預測概率將樣本中的觀察分成g組（我們回過頭來選擇g）。假設（通常如此）g = 10。然后第一組由具有最低10％預測概率的觀察組成。第二組由預測概率次之小的樣本的10％等組成。
在實踐中，只要我們的一些模型協變量是連續的，每個觀測將具有不同的預測概率，因此預測的概率將在我們形成的每個組中變化。為了計算我們預期的觀察數量，Hosmer-Lemeshow測試取組中預測概率的平均值，並將其乘以組中的觀察數。測試也執行相同的計算，然后計算Pearson擬合優度統計量
選擇組的數量
就我所見，關於如何選擇組數g的指導很少。Hosmer和Lemeshow的模擬結論是基於使用的，建議如果我們在模型中有10個協變量 。
直觀地說，使用較小的g值可以減少檢測錯誤規范的機會。
R
首先，我們將使用一個協變量x模擬邏輯回歸模型中的一些數據，然后擬合正確的邏輯回歸模型。
n < - 100
x < - rnorm（n）
xb < - x
pr < - exp（xb）/（1 + exp（xb））
y < - 1 *（runif（n）<pr）
mod < - glm（y~x，family = binomial）接下來，我們將結果y和模型擬合概率傳遞給hoslem.test函數，選擇g = 10組：
Hosmer and Lemeshow goodness of fit (GOF) test
data: mod$y, fitted(mod)
X-squared = 7.4866, df = 8, p-value = 0.4851
這給出p = 0.49，表明沒有合適的不良證據。 我們還可以從我們的hl對象中獲得一個觀察到的與預期的表：
cbind(hl$observed,hl$expected)
y0 y1 yhat0 yhat1
[0.0868,0.219] 8 2 8.259898 1.740102
(0.219,0.287] 7 3 7.485661 2.514339
(0.287,0.329] 7 3 6.968185 3.031815
(0.329,0.421] 8 2 6.194245 3.805755
(0.421,0.469] 5 5 5.510363 4.489637
(0.469,0.528] 4 6 4.983951 5.016049
(0.528,0.589] 5 5 4.521086 5.478914
(0.589,0.644] 2 8 3.833244 6.166756
(0.644,0.713] 6 4 3.285271 6.714729
(0.713,0.913] 1 9 1.958095 8.041905為了幫助我們理解計算，現在讓我們自己手動執行測試。首先，我們計算模型預測概率，然后根據預測概率的十分位數對觀測值進行分類：
pihat <- mod$fitted
pihatcat <- cut(pihat, brks=c(0,quantile(pi 1,0.9,0.1)),1), els=FALSE)接下來，我們循環通過組1到10，計算觀察到的0和1的數量，並計算預期的0和1的數量。為了計算后者，我們找到每組中預測概率的均值，並將其乘以組大小，這里是10：
meanprobs <- array(0, dim=c(10,2))
expevents <- array(0, dim=c(10,2))
obsevents <- array(0, dim=c(10,2))
for (i in 1:10) {
meanprobs[i,1] <- mean(pihat[pihatcat==i])
obsevents[i,2] <- sum(1-y[pihatcat==i])
}最后，我們可以通過表格的10x2單元格中的（觀察到的預期）^ 2 /預期的總和來計算Hosmer-Lemeshow檢驗統計量：
[1] 7.486643
與hoslem.test函數的測試統計值一致。
改變組的數量
接下來，讓我們看看測試的p值如何變化，因為我們選擇g = 5，g = 6，直到g = 15。我們可以通過一個簡單的for循環來完成：
for（i in 5:15）{
print（hoslem.test（mod $ y，fits（mod），g = i）$ p.value）
}[1] 0.4683388
[1] 0.9216374
[1] 0.996425
[1] 0.9018581
[1] 0.933084
[1] 0.4851488
[1] 0.9374381
[1] 0.9717069
[1] 0.5115724
[1] 0.4085544
[1] 0.8686347
雖然p值有所改變，但它們都顯然不重要，所以他們給出了類似的結論，沒有證據表明不合適。因此，對於此數據集，選擇不同的g值似乎不會影響實質性結論。
通過模擬檢查Hosmer-Lemeshow測試
要完成，讓我們進行一些模擬，以檢查Hosmer-Lemeshow測試在重復樣本中的表現。首先，我們將從先前使用的相同模型重復采樣，擬合相同（正確）模型，並使用g = 10計算Hosmer-Lemeshow p值。我們將這樣做1000次，並將測試p值存儲在一個數組中：
pvalues < - array（0,1000）
for（i in 1：1000）{
n < - 100
x < - rnorm（n）
pr < - exp（xb）/（1 + exp（xb））
mod < - glm（y~x，family = binomial）
}完成后，我們可以計算出p值小於0.05的比例。由於此處正確指定了模型，因此我們希望這種所謂的類型1錯誤率不大於5％：
[1] 0.04
因此，在1,000次模擬中，Hosmer-Lemeshow測試在4％的情況下給出了顯着的p值，表明不合適。所以測試錯誤地表明在我們預期的5％限制內不合適 - 它似乎工作正常。
現在讓我們改變模擬，以便我們適合的模型被錯誤地指定，並且應該很難適應數據。希望我們會發現Hosmer-Lemeshow測試在5％的時間內正確地找到了不合適的證據。具體來說，我們現在將生成跟隨具有協變量的邏輯模型，但我們將繼續使用線性協變量擬合模型，以便我們的擬合模型被錯誤地指定。
我們發現，計算p值小於0.05的比例
[1] 0.648
因此，Hosmer-Lemeshow測試為我們提供了65％的不合適的重要證據。