Z算法
Z算法是一種用於字符串匹配的算法。此算法的核心在於\(z\)數組以及它的求法。
（以下約定字符串下標從\(1\)開始）
\(z\)數組和Z-box
定義\(z\)數組：\(z_{a,i}\)表示從字符串\(a\)的第\(i\)位開始，往后能與\(a\)的前綴匹配的最長長度。顯然，\(z_{a,1}=|a|\)恆成立。
一個Z-box是一個區間。給定一個字符串\(a\)，那么\(a\)上存在一個Z-box\([l,r]\)當且僅當滿足以下全部條件：
- \(l\ne1\)；
- \(z_{a,l}\ne0\)；
- \(r=l+z_{a,l}-1\)。
通俗來說，若從\(a\)的第\(i\)位開始能與\(a\)的前綴匹配至少\(1\)位，那么能匹配的最長的串覆蓋過的區間就是一個Z-box。（\(l\ne1\)是因為位置\(1\)很特殊，本身就是前綴，單獨考慮）
例如若\(a=\texttt{acactaac}\)，那么\(z_{a}=[8,0,2,0,0,1,2,0]\)，Z-box有\([3,4],[6,6],[7,8]\)。
\(z\)數組的求法
給定字符串\(a\)，現在我們需要求出\(z_{a}\)。
由於\(z_{a,1}\)的值不用求，而且位置\(1\)比較特殊，就是前綴，所以我們單獨處理。
假設我們現在已經知道了\(z_{a,2\sim i-1}\)和使得\(zr\)最大的Z-box\([zl,zr]\)，要求出\(z_{a,i}\)並更新\(zl,zr\)，那么分\(2\)種情況：
- \(zr<i\)。此時我們直接暴力地從第\(i\)位向后匹配求出\(z_{a,i}\)。如果\(z_{a,i}\ne0\)，則令\(zl=i,zr=i+z_{a,i}-1\)；
- \(zr\ge i\)。設\(i-zl+1=i'\)，即\(i'\)是把跨越\(i\)的Z-box\([zl,zr]\)平移至\(a\)的前綴處后\(i\)的位置。此時又分\(2\)種情況：
- \(i+z_{a,i'}\le zr\)。顯然\(\left[i,i+z_{a,i'}\right]\subsetneq[zl,zr]\)。根據Z-box的定義，\(\forall j\in\left[i,i+z_{a,i'}\right],a_j=a_{j-zl+1}\)。那么從\(a\)的第\(i\)位開始與\(a\)的前綴匹配的情況和從第\(i'\)位開始是一樣的，直接令\(z_{a,i}=z_{a,i'}\)，\(zl,zr\)不變；
- \(i+z_{a,i'}>zr\)。同理，\(\forall j\in[i,zr],a_j=a_{j-zl+1}\)。那么\(a\)的第\(i\sim zr\)位與\(a\)的前綴匹配的情況和第\(i'\sim zr-zl+1\)位是一樣的，顯然\(z_{a,i}\)至少有\(zr-i+1\)這么多，於是直接從第\(zr+1\)位開始暴力向后匹配求出\(z_{a,i}\)，並令\(zl=i,zr=i+z_{a,i}-1\)（因為\(z_{a,i}\)不可能為\(0\)）。
這樣先令\(z_1=|a|\)，然后按上述方法從\(i=2\)遞推到\(i=|a|\)，便可求出\(z_a\)數組。
下面是求\(z\)數組的代碼：
//|a|=n
void z_init(){//求z數組
z[1]=n;//特殊處理z[1]
int zl=0,zr=0;//右端點最大的Z-box
for(int i=2;i<=n;i++)//從i=2遞推到i=n
if(zr<i){//第1種情況
z[i]=0;
while(i+z[i]<=n&&a[i+z[i]]==a[1+z[i]])z[i]++;//直接向后暴力匹配
if(z[i])zl=i,zr=i+z[i]-1;//更新右端點最大的Z-box
}
else if(i+z[i-zl+1]<=zr)z[i]=z[i-zl+1];//第2種情況的第1種情況
else{//第2種情況的第2種情況
z[i]=zr-i+1;//z[i]至少有zr-i+1這么多
while(i+z[i]<=n&&a[i+z[i]]==a[1+z[i]])z[i]++;//后面再暴力匹配
zl=i;zr=i+z[i]-1;//更新右端點最大的Z-box
}
}
時間復雜度
按上述方法求\(z\)數組的時間復雜度是線性的\(\mathrm{O}(|a|)\)。
證明（感性）：觀察上述方法可發現，只有當\(i>zr\)時，才可能將這個位置的字符與前綴匹配，而匹配結束后會把\(zr\)更新至最后一個匹配成功的位置，所以每個字符最多會和前綴成功匹配\(1\)次，所以匹配成功的總次數為\(\mathrm{O}(|a|)\)；算\(z_{a,i}\)時，如果往后暴力匹配（即遇到的不是第\(2\)種情況的第\(1\)種情況），那么第\(1\)次匹配失敗就會停下來，所以匹配失敗的總次數也為\(\mathrm{O}(|a|)\)。因此總時間就是匹配所花的時間\(\mathrm{O}(|a|)+\mathrm{O}(|a|)=\mathrm O(|a|)\)再加上一些賦值、更新\(zl,zr\)等一些\(1\)次只要\(\mathrm O(1)\)的操作，就還是\(\mathrm O(|a|)\)了。得證。
應用
Z算法和ExKMP算法是完全等價的，因為它們求的數組的意思是一樣的。但是哈希、KMP能求的東西卻有Z算法力所不及的。
Z算法最常用的用法就是字符串模式匹配（這個哈希和KMP也可以做到線性復雜度）。考慮把模式串\(b\)隔一個不常用字符接到文本串\(a\)前面，即令\(c=b+\texttt{!}+a\)。然后求出\(z_c\)，從\(i=|b|+2\)到\(i=|c|\)掃一遍，如果\(z_i=|b|\)，那么在該位置匹配成功。注意：所謂不常用字符一定不能在串中出現，不然會出bug。如果要用模式串\(c\)去匹配兩個文本串\(a,b\)，可以令\(d=c+\texttt{!}+a+\texttt @+b\)，這時兩個分隔符不能相同，不然也會出bug。
為什么Z算法在字符串模式匹配上花的時間和哈希相同呢？Z算法算出了從每一位開始能與前綴匹配的最長長度，但是字符串模式匹配只需要知道能否與前綴\(c_{1\sim|b|}\)匹配，並未完全使用\(z\)數組的價值。如果你就是想知道某一位開始能與前綴匹配的最長長度，哈希可就要二分的幫助了，復雜度是帶\(\log\)的，不如用Z算法預處理一下。具體的可以參考下面\(3\)道例題。
不僅如此，Z算法的常數比哈希小（因為為了使哈希不被卡、不在CodeForces上FST，一般要寫雙重哈希），正確率也比哈希高（Z算法正確率當然是\(100\%\)啦）。