求文本與單模式串匹配，通常會使用KMP算法。后來接觸到了Z算法，感覺Z算法也相當精妙。在以前的博文中也有過用Z算法來解決字符串匹配的題目。
下面介紹一下Z算法。
先一句話講清楚Z算法能求什么東西。
輸入為一個字符串s，Z算法可以求出這個字符串每一個后綴與自身的最長公共前綴LCP，Z算法可以求出一個數組z，z[i]表示suffix(i)與字符串本身的最長公共前綴。
接下來，介紹Z算法的具體內容。
記字符串s的長度為n。
Z算法需要維護一對值，記為left和right，簡記為L和R。L和R滿足s[L,R]為s串的前綴。當i為1的時候，暴力比較s[0,n-1]與s[1,n-1]可得此時的L與R，同時也得到了z[1]，即suffix(1)與s本身的LCP。
假設計算至i-1，我們已經得到了當前的L與R，同時也得到了z[1]到z[i-1]的值，現在需要計算z[i]與新的L和R。
1.假設i>R，則說明不存在一個結束於i或者i之后的串，同時這個串本身也為s的一個前綴，否則R不應該小於i。對於這種情況，需要重新計算新的L與R，令L=R=i,暴力比較s與suffix(i)，得到z[i]=R-i+1=R-L+1。
2.此時i<=R，令k=i-L，可以斷言z[i]>=min(z[k],R-i+1)。因為根據L與R的含義，此時我們可以將L到R視作為字符串的前綴，那么i相對於L的偏移量為k。
如果z[k]<R-i+1,則z[i]必然等於z[k]，基於此時，s[k,k+z[k]-1]是s[i,R]的一個前綴,同時在這種情況下L與R不變。
如果z[k]>=R-i+1，根據R的含義可知s[R+1]!=s[R-L+1]，z[k]中大於R-i+1的匹配信息因為s[R+1]!=s[R-L+1]而無效，但這並不意味着s[R+1]!=s[R-i+1]，此時根據z[k]可以斷言z[i]至少是R-i+1,是否可以更大需要再進行計算，令L=i,更新R值，並得到此時的z[i]。
具體實現中，第二種情況的兩種子情況可以歸一化處理。
給出一個C++實現代碼：
1 void Z(char *s,int n=0) { 2 n=(n==0)?strlen(s):n; 3 z[0]=n; 4 int l=0,r=0; 5 for (int i=1;i<n;i++) { 6 if (i>r) { 7 l=i,r=i; 8 while (r<n&&s[r-i]==s[r]) r++; 9 z[i]=r-l; 10 r--; 11 } 12 else { 13 int k=i-l; 14 if (z[k]<r-i+1) 15 z[i]=z[k]; 16 else { 17 l=i; 18 while (r<n&&s[r-i]==s[r]) r++; 19 z[i]=r-l; 20 r--; 21 } 22 } 23 } 24 }
過程中每個字符至多被L和R掃到一次，Z算法是線性的復雜度。
Z算法解決單模式串匹配的方法很簡單，令S為文本串，T為模式串，構造新串P=T+'#'+S，計算z數組，從S在P中開始的位置向后掃描，如果z[i]=length(S)，則說明此處有一個匹配。當然其實也可以不加'#'，那樣子的話判斷需要用>=而不是=。相較於KMP，對於解決單模式串匹配，如求所有匹配位置，其實用Z算法求的話是可以做到不用額外空間的（對於字符串拼接，可以不用開一個新的字符串。過程中判斷匹配即可，不必保存z數組。），而KMP的話，不保存模式串的next數組，是沒辦法進行匹配運算的。