概念
簡介
在計算機科學里, 后綴數組（英語：suffix array）是一個通過對字符串的所有后綴經過排序后得到的數組。此數據結構被運用於全文索引、數據壓縮算法、以及生物信息學。
后綴字符串
- 后綴字符串：從后往前依次遞增截取的字符串。長度為 n 的字符串有 n 個后綴
后綴數組和rank數組
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后綴數組：排名和原下標的映射。把字符串的n個后綴子串按照字典序從小到大排列，形成的數組，在數組中記錄后綴的起始下標。是排名到下標的映射。
sa[m]=n表示排名是m的后綴字符串在原字符串的起點是n如：sa[0]=5 表示排名是0位的后綴字符串在原字符串的起點是5
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rank數組：給定后綴的下標,返回其字典序。是下標到排名的映射。
rk[n]=m表示后綴在原字符串起點是n的字符串的排名是m如：rk[5]=0 表示后綴在原字符串起點是5的字符串排名為0位
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顯然，后綴數組和rank數組是互補的
sa[rk[i]] = rk[sa[i]] = i
思路分析
后綴數組主要用於字符串匹配的查詢。
有一個顯而易見的基本概念：字符串的子串一定是某個后綴的前綴
如果給定一個字符串，想看它是不是母串的子串，那么我們可以先構造母串的后綴數組，然后使用二分查找，根據字典序查找出與該字符串最匹配的后綴，然后遍歷后綴，如果該字符串是該后綴的前綴，那么就說明該字符串是母串的子串；否則不是。
如何求后綴數組以及進行字符串匹配
朴素法
獲取所有后綴放入數組，然后使用Arrays.sort() 按照字典序排序。
注意：不僅要獲取后綴，后綴在母串的起點下標也需要獲取，也就是說后綴和其在母串的起點下標是一體，不可分割的，為了解決這個問題，需要把后綴字符串和其起點下標封裝成對象，並且實現Comparable接口。
//求后綴數組
public static Suff[] getSa(String src) {
int strLength = src.length();
/*sa是排名到下標的映射,即sa[i]=k說明排名為i的后綴是從k開始的*/
Suff[] suffixArray = new Suff[strLength];
for (int i = 0; i < strLength; i++) {
String suffI = src.substring(i);//截取后綴
suffixArray[i] = new Suff(i, suffI);
}
Arrays.sort(suffixArray);//依據Suff的比較規則進行排序
return suffixArray;
}
//封裝后綴和起點下標
class Suff implements Comparable<Suff> {
String str; //后綴內容
int index;//后綴的起始下標
public Suff(int index, String str) {
this.index = index;
this.str = str;
}
@Override
public int compareTo(Suff o2) {
return this.str.compareTo(o2.str);
}
@Override
public String toString() {
return "Suff{" +
"str='" + str + '\'' +
", index=" + index +
'}';
}
}
- 時間復雜度：快排
O(nlogn)，字符串一一匹配還需乘O(n)，所以總的時間復雜度是O(n^2·logn)
倍增法
倍增算法的主要思路是：用倍增的方法對每個字符開始的長度為2^k的子字符串進行排序，求出排名，即rank值。k 從О開始，每次加1，當2^k大於n以后，每個字符開始的長度為2^k的子字符串便相當於所有的后綴。並且這些子字符串都一定已經比較出大小，即rank值中沒有相同的值，那么此時的rank值就是最后的結果。每一次排序都利用上次長度為2^(k-1)的字符串的rank值，那么長度為2^k的字符串就可以用兩個長度為2^(k-1)的字符串的排名作為關鍵字表示，然后進行快速排序，便得出了長度為2^k的字符串的rank值。
這里和羅穗騫論文里的排序思路略有不同，采用快速排序簡化代碼幫助理解。
用rank數組記錄sa數組中每個index的排名。
修改一下Suff類：
class Suff implements Comparable<Suff> {
public char c;//后綴內容
private String src;
public int index;//后綴的起始下標
public Suff(char c, int index, String src) {
this.c = c;
this.index = index;
this.src = src;
}
@Override
public int compareTo(Suff o2) {
return this.c - o2.c;
}
@Override
public String toString() {
return "Suff{" +
"char='" + src.substring(index) + '\'' +
", index=" + index +
'}';
}
}
改進的求后綴數組方法：
public static Suff[] getSa(String src) {
int n = src.length();
Suff[] sa = new Suff[n];
for (int i = 0; i < n; i++) {
sa[i] = new Suff(src.charAt(i), i, src);//存單個字符,接下來排序
}
Arrays.sort(sa); //單個字符使用快排
/*rk是下標到排名的映射*/
int[] rk = new int[n]; //rank數組
rk[sa[0].index] = 1; //排名從1開始
for (int i = 1; i < n; i++) {
rk[sa[i].index] = rk[sa[i - 1].index]; //下標所指字符相同則排名相同
if (sa[i].c != sa[i - 1].c) rk[sa[i].index]++; //字符不同，則排名加一
}
//倍增法
for (int k = 2; rk[sa[n - 1].index] < n; k *= 2) { //外層O(logn)
final int kk = k;
Arrays.sort(sa, (o1, o2) -> {
//不是基於字符串比較,而是利用之前的rank
int i = o1.index;
int j = o2.index;
if (rk[i] == rk[j]) {//如果第一關鍵字相同
if (i + kk / 2 >= n || j + kk / 2 >= n)
return -(i - j); //如果某個后綴不具有第二關鍵字,那肯定較小,索引靠后的更小
return rk[i + kk / 2] - rk[j + kk / 2];
} else {
return rk[i] - rk[j];
}
});
/*---排序 end---*/
// 更新rank
rk[sa[0].index] = 1;
for (int i = 1; i < n; i++) {
int i1 = sa[i].index;
int i2 = sa[i - 1].index;
rk[i1] = rk[i2];
try { //兩個字符串不相同，排名加一
if (!src.substring(i1, i1 + kk).equals(src.substring(i2, i2 + kk)))
rk[i1]++;
} catch (Exception e) { //i1+kk越界了，則說明i1字符串比i2字符串短，且原先排名在i2之后，所以排名加一
rk[i1]++;
}
}
}
return sa;
}
- 時間復雜度：快排復雜度
O(nlogn)，外層循環logn層，所以總的時間復雜度是O(n(logn)^2)
更好的優化
內部字符串比較的時候使用基數排序O(n)可以時總的時間復雜度降低到O(nlogn)
還有時間復雜度為O(n)級別的DC3和SA-IS方法，可自行查閱資料，已放在文末。
二分法匹配字符串
private static void match(String s, String p) { //s是母串，p是模式串
Suff[] sa = getSa(s); //獲取后綴數組
int l = 0;
int r = s.length() - 1;
//二分查找,nlog(m)
while (r >= l) {
int mid = l + ((r - l) >> 1);
//居中的后綴
Suff midSuff = sa[mid];
String suffStr = s.substring(midSuff.index); //獲取后綴
int compareRes;
//將后綴和模式串比較,O(n)
if (suffStr.length() >= p.length()) //后綴字符串長度大於等於模式串，截取后綴字符串的前綴與模式串比較
compareRes = suffStr.substring(0, p.length()).compareTo(p);
else //后綴字符串長度小於模式串，直接進行比較
compareRes = suffStr.compareTo(p);
//相等了,輸出后綴的起始位置
if (compareRes == 0) {
System.out.println(midSuff.index);
break;
} else if (compareRes < 0) { //后綴小於模式串，左指針右移
l = mid + 1;
} else { //后綴大於模式串，右指針左移
r = mid - 1;
}
}
}
高度數組
概念
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高度數組：（height）是后綴數組中每兩個相鄰字符串元素的最長公共前綴的長度的集合
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LCP：（longestCommonSubString）最長公共前綴
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height[i] = LCP(sa[i],sa[i-1])
思路和實現
如果已經知道后綴數組中i與i+1的lcp為h，那么i代表的字符串與i+1代表的字符串去掉首字母后的lcp為h-1.
根據這個我們可以發現，如果知道i與后綴數組中在它后一個的lcp為k，那么它去掉首字母后的字符串與其在后綴數組中的后一個的lcp大於等於k-1.
即height[rk(i+1)] >= height[rk(i)]-1
例如對於字符串abcefabc，我們知道abcefabc與abc的lcp為3.
那么bcefabc與bc的lcp大於等於3-1.
利用這一點就可以O(n)求出高度數組。
public static int[] getHeight(String src, Suff[] sa) {
int strLength = src.length();
int[] rk = new int[strLength];
//將rank表示為不重復的排名即0~n-1
for (int i = 0; i < strLength; i++) {
rk[sa[i].index] = i;
}
int[] height = new int[strLength];
int k = 0;
for (int i = 0; i < strLength; i++) {
int rk_i = rk[i]; //i后綴的排名
if (rk_i == 0) {
height[0] = 0;
continue;
}
int rk_i_1 = rk_i - 1;
int j = sa[rk_i_1].index;//j是i串字典序靠前的串的下標
if (k > 0) k--;
for (; j + k < strLength && i + k < strLength; k++) {
if (src.charAt(j + k) != src.charAt(i + k))
break;
}
height[rk_i] = k;
}
return height;
}