排列組合問題相關知識

排列組合問題

這篇隨筆講解信息學奧林匹克競賽比較常見的一種題型——排列組合問題。閱讀並理解本篇隨筆要求讀者具有不低於高中一年級的數學素養，並且了解信息學中遞歸、深搜算法的基本實現方式，能理解一般的遞歸程序。

上課！！

1、排列和組合的定義

(1)排列的定義

從\(n\)個不同元素中，選出\(m\)個元素按照一定順序排成一列，叫做從\(n\)個不同元素中取出\(m\)個元素的一個排列。

(2)排列數的定義

從\(n\)個元素中選出\(m\)個元素的所有排列的個數，叫做從\(n\)個不同元素中取出\(m\)個元素的排列數。

(3)全排列的定義

當\(n=m\)時所有的排列情況叫做全排列。

(4)組合的定義

從\(n\)個不同元素中，選出\(m\)個元素並成一組，叫做從\(n\)個不同元素中取出\(m\)個元素的一個組合。

(5)組合數的定義

從\(n\)個元素中選出\(m\)個元素的所有組合的個數，叫做從\(n\)個不同元素中取出\(m\)個元素的組合數。

(6)排列&組合的區別

通俗地說，組合不分順序，而排列分順序，也就是說，對於數列\(1,2\)，有以下兩種排列：\(1,2\)和\(2,1\)，但是僅有一種組合\(1,2\)或\(2，1\).

2、排列&組合的公式

(1)關於排列的公式

從\(n\)個不同元素中，選出\(m\)個元素的排列數，數學表示為：\(A_n^m\).

計算公式如下：

\[A_n^m=n(n-1)(n-2)\cdots(n-m+1)=\frac{n!}{(n-m)!} \]

(2)關於組合的公式

從\(n\)個不同元素中，選出\(m\)個元素的組合數，數學表示為：\(C_n^m\).

計算公式如下：

\[C_n^m=\frac{A_n^m}{m!}=\frac{n!}{m!(n-m)!} \]

(3)關於全排列的公式

某個數列的全排列數\(f(n)\)，計算公式如下：

\[f(n)=n! \]

3、全排列的求法

例題：生成全排列（深搜基礎題）

題目鏈接

給定\(n\),生成\(1-n\)的全排列。

我們考慮用遞歸來解決全排列問題：

遞歸出口是當x==n+1地時候，絕對不能僅僅等於n！！

我們的遞歸部分使用標記數組和數列數組實現，具體實現方法可以參照下圖：

我們遞歸的過程大體是以下的思路:

三個數位可能出現1-3每個數，所以我們使用遞歸算法求解的時候，先圈定這一個值，然后繼續下搜，遍歷完這“一條鏈”的時候，就上回一個數位看看還有沒有其他選擇，這樣就保證了解不重不漏。

例題代碼：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,a[20],v[20];
void dfs(int x)
{
    if(x==n+1)
    {
        for(int i=1;i<n;i++)
            printf("%d ",a[i]);
        printf("%d\n",a[n]);
        return;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        if(v[i]==0)
        {
            a[x]=i;
            v[i]=1;
            dfs(x+1);
            v[i]=0;
        }
    }
}
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    dfs(1);
    return 0;
}