排列組合問題之圓形分布

1、問題
1.1 團團坐
有一張圓桌，坐了A,B,C,D四個人，已知，D在A的右邊，C在D的對面，請問A,B,C,D,的坐次？

解答：這個問題相對簡單，我們紙上畫一畫，就能畫出他們的可能的位置了

但是，可能還有一種解，比如我們把A,B,C,D依次右轉一個位，也是滿足條件的，而且只要保持他們的相對位置不變，依次右轉n個位都是問題的解，而且還有個有趣的事情，當他們轉了一圈（即右轉4個位）后，他們右回到原位了

2、圓形分布
上面這個問題就是一種圓形分布，那么他和直線分布的區別在哪里呢？又有什么聯系呢？
上面文章《排列組合問題之線型排列》中講過，當有4個球時，可能的排列共有4! = 24種，那么我們把A,B,C,D四個人的坐位分別標為{0, 1, 2, 3}的號，那么A,B,C,D四個人可能坐的位置就是一個線型排列。

假設我們用計算機來解析這個問題，給出一種可能的分布方式。我們的思路是：
1> 列出所有可能的分布
2> 然后解析每種組合是否滿足題目的要求
當然，我們也可以每找到一種組合，就判斷一次是否滿足題目的要求，這樣找到一種后就可以退出了，可以減少時間復雜度。
如果我們按線型排列處理，我們一共需要找出24種排列出來，根據前面的解析可知，某一種排列還有3種排列都可以滿足題目的解得，我們只需要求出一種解即可，找出24種比較費時間，而且當問題復雜化后，比如是一個16邊形的桌子，給出上述類似的問題，那么最壞情況下共需要列出16!=20922789888000種可能，如果我們能夠去掉其中重復的，就可以減少計算。如我們這里實際只需要列出24 / 4 = 6種分布即可

3、如何找出線型分布中不一樣的分布
我們再來看看問題的解答：A,B,C,D四個人的坐次 = {0, 2, 3, 1}
假設A固定不動，那么B, C, D可能的坐次仍是一個線型分布，即共有3!=6種，因為A不動，所有B,C,D不可能發生轉動了，所以不會有上面多個解的問題
這時我們每右轉一次A，那么上面的6種分布又可以得到新的6種線型分布，但他們和轉動前的分布都是問題的解（因為他們的相對位置不變，而問題給出的條件是相對位置），所以對於圓形分布，即是把線型分布的首位連接成一個圓，圓轉動后他們的位置仍然會保持相對不變，那么我們只需要求出A=0,{B,C,D}的線型分布組合起來的解，就可以用來判定題目給出的條件

4、圓形分布算法

為了減少篇幅，創建線型分布的函數 SetBallNum() 見《排列組合問題之線型排列》

為了處理方便，重復利用代碼，生成圓形分布時，我們是固定最后一位不動的，即D的位置不動

bool    CPermutation::CreateCirclePermutaion(int nNum, std::vector<std::vector<int>>& vectorPermutation)
{
    //先創建nNum - 1個位的的直線排布
    std::vector<int>    vectorBallSet(nNum - 1, 0);
    std::vector<int>    vectorBall(nNum - 1, 0);
    SetBallNum(0, vectorBall, vectorBallSet, vectorPermutation);

    //然后將nNum - 1的位添加到最后
    for (int i = 0; i < vectorPermutation.size(); i++)
    {
        vectorPermutation[i].push_back(nNum - 1);
    }

    return    true;
}

說明:為了減少代碼，處理方便，算法中用到了STL的vector容器，需要少許STL容器使用的相關知識，當然用數組也是可以實現的，代碼會略麻煩

5、如何表達A,B,C,D的相對位置
5.1 什么是x在y的右邊？
我們來換一張相對好看一點的圖：

圖中B在A的右邊，他們的位置是(0, 1)，C在B的右邊他們的位置是(1, 2)....

	A, B	B, C	C, D	D, A
相對位置	(0, 1)	(1, 2)	(2, 3)	(3, 0)

通過C之前的位置我們可以總結出，所謂x在y的右邊就是f(x)+1 = f(y)，這里f(x)是指x的位置號。
但當到D后，我們發現上面這個公式不適用了A也在D的右邊，但他們的位置卻是(3, 0)，該如何處理這種情況？
我們再仔細看，當到D后，他的右邊的位置理應是4，但由於是圓形分布，最后一位和第一位首位相接了，這實際上就和時鍾轉滿了一圈是一樣的，這時4要變成0了，這實際就是一個模的運算，取其余數即可，即：
f(x)+1 = f(y)%4 = f(y)%桌子的邊數

5.2 什么是x在y的對面？
再看一次上面那張圖， C在A的對面，他們的位置是(0, 2)，D在B的對面，他們的位置是(1, 3)，因為如果2個人相對，那么他們之間就隔了一半的人
於是我們能總結出公式：f(y)-fx(x) = 4 / 2 = 2
但是又發現也可以說A在C的對面，f(a)-f(c) = -2,修改下公式：
|f(y)-f(x)| = 2 = 4 / 2 = 桌子的邊數/2

6、自動判斷算法

bool    CPermutation::TestCircleDesk()
{
    int    nSideNum = 4;
    std::vector<std::vector<int>> vectorPermutation;

    CreateCirclePermutaion(nSideNum, vectorPermutation);
    PrintPermutation(vectorPermutation);

    //{A, B, C, D}對應分布中的{0, 1, 2, 3}
    //遍歷所有的分布
    for (int i = 0; i < vectorPermutation.size(); i++)
    {
        std::vector<int>&    vectorCirclePermutation = vectorPermutation[i];
        //根據輸入條件做判斷
        //f(x)+1 = f(y)%4
        //D在A的右邊，即f(0)+1 = f(3)%4
        //如果不滿足該條件，則繼續下一組
        if ((vectorCirclePermutation[0] + 1) != (vectorCirclePermutation[3] % nSideNum))
        {
            continue;
        }

        //|f(y)-f(x)| = 2 = 4 / 2
        //C在D的對面，即|f(2)-f(3)| = 2 = 4 / 2
        if (abs(vectorCirclePermutation[2] - vectorCirclePermutation[3]) == nSideNum / 2)
        {
            printf("Find matched permutation : ");
            for (int j = 0; j < nSideNum; j++)
            {
                printf("%d ", vectorCirclePermutation[j]);
            }
            printf("\n");
            return    true;
        }

    }

    return    false;
}

  

說明：算法實現中是固定最后一位不動的，即D的位置不動，所以最后一位都是3（即D始終在3號位），但該解也是符合原問題的。