統計學基礎之常用統計量和抽樣分布

目錄：

一、統計量

 1、概念

2、常用統計量

二、抽樣分布

 1、常見三大抽樣分布

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一、統計量：

1、概念：

        統計量是統計理論中用來對數據進行分析、檢驗的變量。在實際應用中，當我們從某個總體中抽取一個樣本（X1，X2，X3......，Xn）后，並不能直接用它對總體的有關性質和特征進行推斷，因為樣本雖說是從總體中獲取的代表，含有總體性質的信息，但還是會比較分散。當我們需要將統計的推斷變成可能的，必須要把分散在樣本中的信息集中起來，針對不同的目的，構造不同的樣本函數，這種函數在統計學中成為統計量。

        統計量是樣本的一個函數。有樣本構造具體的統計量，實際是對樣本所含的總體信息按照一些要求進行加工處理，把分散在樣本中的信息集中都統計量的取值上。不同的統計推斷問題要求構造不同的統計量。統計量是統計推斷的基礎，相當於概率論中的隨機變量。在統計量的公式中不能依賴於總體分布的未知參數，如包含E(X),D(X)的都不是統計量。

2、常用統計量：

　　一般在概率論中，將數學期望和方差等概念用‘矩’的概念描述。當n充分大時，有定理可以保證經驗分布函數Fn（x）很靠近總體分布函數F（x）。所以，經驗分布函數Fn（x）的各階矩就反映了總體各階矩的信息。通常把經驗分布函數的各階矩稱為樣本各階矩。常用的樣本各階矩及其函數都是實際應用中的具體統計量。

2.1、樣本均值

，反映出總體X數學期望的信息。

2.2、樣本方差

，反映的是總體X方差的信息

2.3、樣本變異系數

，反映出總體變異系數C的信息。其中變異系數定義為，反映出隨機變量在以它的均值為單位時取值的離散程度。消除了均值不同對不同總體的離散程度的影響，用來刻畫均值不同時不同總體的離散程度。可應用與投資項目的風險分析、不同群體或行業的收入差距描述中。

2.4、樣本k階矩

，稱為樣本k階矩。反映了總體k階矩的信息。m_{1即即樣本均值。}

2.5、樣本k階中心矩

，稱為樣本k階中心矩。反映出總體k階中心矩的信息。即樣本方差。

2.6、樣本偏度

，反映了總體偏度的信息。偏度反映了隨機變量密度函數曲線在眾數（密度函數在這一點達到最大值）兩邊的偏斜型。若X~N(μ，σ²)，則偏度為0。

2.7、樣本峰度

，反映出總體峰度的信息。峰度反映了密度函數曲線在眾數附近的“峰”的尖峭程度。正態隨機變量X~N(μ，σ²)的峰度為0。偏度和峰度多應用在質量控制和可靠性研究中。

2.8、次序統計量

　　設 X1,X2, …, Xn是取自總體X的樣本，X(i) 稱為該樣本的第i個次序統計量，它的取值是將樣本觀測值由小到大排列后得到的第i個觀測值。從小到大排序為x(1),x(2), …,x(n)，則稱X(1),X(2), …,X(n)為順序統計量。

　　則

　　

　　(1) 最小順序統計量 

　　(2)最大順序統計量

　　(3) 極差(Range) 

　　(4)四分位極差(iql) 

　　 樣本X1,X2,…,Xn是獨立同分布的，而次序統計量X(1),X(2),…,X(n) 則既不獨立，分布也不相同。 

2.9、充分統計量

 設  是來自分布函數  的樣本  是一個統計量，如果在給定  的條件下，x的分布與  無關，則稱統計量  為  的充分統計量。

一個統計量  是參數  的充分統計量，其充分必要條件是存在一個t與  的函數  和一個樣本的函數  ，使得對於任何一個樣本x和任意的  ，樣本的聯合密度函數  可以表示為它們的乘積，即

 

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二、抽樣分布

　　抽樣分布、參數估計、假設檢驗是統計推斷的重要內容。研究統計量的性質和評價一個統計推斷的優良性，完全取決於抽樣分布的性質。 

　　在總體X的分布類型已知時，若對任一自然數n都能導出統計量T = T（X₁，X₂，...，X_n）的分布的數學表達式，這種分布稱為精確的抽樣分布，對於樣本量n較小的統計推斷問題很有作用。精確的抽樣分布大多是在正態總體情況下得到的。在正態總體的體檢下，主要有分布，t分布，F分布。

2.1、分布

　　設隨機變量X₁，X₂，...，X_n相互獨立，且X_i（i=1，2，...，n）服從標准正態分布N（0,1），則它們的平方和服從自由度為n的分布。

　　自由度是統計學常用的概念，可以理解為獨立變量的個數，也可理解為二次型的秩。如：Y=X²是自由度為1的分布，rank（Y）=1；Z=是自由度為n的分布，rank（Z）=n。

　　分布的數學期望為E()=n，方差為D()=2n。

　　分布具有可加性，即若~（n₁），~（n₂），且獨立，則+~（n₁+n₂）。

　　當自由度足夠大時，分布的概率密度曲線趨於對稱。當n--->+∞時，分布的極限分布是正態分布。

 

2.2、t分布

設隨機變量X~N（0,1），Y~（n），且X與Y獨立，則，記t(n).。n為自由度。t分布的密度函數是一偶函數。其密度函數與標准正態分布和很相似，都為單峰偶函數。

 

2.3、F分布

主要應用於方差分析、回歸方程的顯著性檢驗中。

設隨機變量Y與Z相互獨立，且Y和Z分別服從自由度為m和n 的分布，隨機變量，則稱X服從第一自由度m，第二自由度為n的F分布，記為F（m，n）。兩個自由度的位置不可互換。

如果隨機變量X服從t(n)分布，則X²服從F（1，n）的F分布。

 

2.4、樣本均值的分布與中心極限定理

總體分布為正太分布的樣本均值的分布。

當總體分布為正態分布N（μ，σ²）時，的抽樣分布仍為正態分布，期望為μ，方差為σ²/n。

中心極限定理：設從均值μ，方差σ²的任意一個總體中抽取樣本量為n的樣本，當n充分大時，樣本均值的抽樣分布近似服從均值為μ，方差為σ²/n的正態分布。

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本文參考中國人民大學出版社《統計學》第七版