聯賽的數學知識並不多，但是還是挺重要挺基礎的。
本人巨弱，有問題請指出哦。
看不明白的評論即可，或者你可以直接來找我問。
數論相關
1.裴蜀定理
一個二元線性方程:$ax+by=c$，存在解的充分必要條件為：$gcd(a,b)|c$
證明：
令$\begin{array}{rcl}d & = & gcd(a,b) \\ a & = & k_1d\\b & = & k_2d \\ax+by & = & (k_1+k_2)d=c \end{array}$
所以$d|c->gcd(a,b)|c$
2.線性推逆元
$i^{-1}=(-\lfloor{\frac{p}{i}}\rfloor)(p\%i)^{-1}(mod\ p)$
證明：
設$p=ai+b$
$ai+b\equiv p\equiv0 (mod\ p)$
$(ai+b)i^{-1}b^{-1}\equiv0(mod\ p)$
$ab^{-1}+i^{-1}\equiv0(mod\ p)$
$i^{-1}\equiv(-ab^{-1})(mod\ p)$
$i^{-1}\equiv (-\lfloor{\frac{p}{i}}\rfloor)(p\%i)^{-1}(mod\ p)$
3.$Euler$函數
$\phi(n)=n\Pi_{p^k|n}(1-\frac{1}{p^k})$
引理：
如果:$gcd(a,b)=1$
$\phi(ab)=\phi(a)\phi(b)$
證明：與$a$互質且和$b$互質，一定和$ab$互質，這樣的數有$\phi(a)\phi(b)$個。
分類討論：
1.n=p,$\phi(n)=p-1$顯然成立
2.n=p^k,$\phi(n)=p^k-p^{k-1}$顯然成立
3.n為任意合數，$\phi(n)=\Pi_{p^k|n}\phi(p^k)=n\Pi_{p|n}(1-\frac{1}{p})$
證畢。
4.歐拉定理
$a^{\phi(m)}\equiv 1(mod\ m),(gcd(a,m)=1)$
證明：
令$gcd(a,m)=1$
設集合$S={x_1,x_2...x_{\phi(m)}}$中的每一個數都小於$m$且和$m$互質，而且各不相同。
那么集合$P={ax_1,ax_2...ax_{\phi(m)}}$中每一個數都與$m$互質。
引理：集合$P$中的每一個數各不相同。
反證：
假設$ax_i-ax_j\equiv0(mod\ m)$
那么$(x_i-x_j)=km$
$x_i$和$x_j$既小於$m$又是$m$的倍數，顯然不成立。
所以集合$P$中的每一個數各不相同。
引理得證。
我們發現$P$在$mod\ m$意義下，各不相同，且均和$m$互質，同$S$的定義相同。
那么，在$mod\ m$意義下，$S$與$P$等價。
所以
$\begin{array}{rcl} \prod \limits_{i=1}^{\phi(m)}ax_i & \equiv & \prod\limits_{i=1}^{\phi(m)}(mod\ m) \\a^{\phi(m)}\prod\limits_{i=1}^{\phi(m)}x_i & \equiv & \prod\limits_{i=1}{\phi(m)}(mod\ m) \\a^{\phi(m)}\ & \equiv & 1(mod\ m) \end{array}$
5.費馬小定理
$a^{p-1}\equiv1(mod\ p),(p為質數)$
證明：
$p-1=\phi(p)$
代入歐拉定理顯然成立。
篩法匯總
1.埃篩質數
枚舉每個數的倍數，挨個篩
組合數學相關
1.二項式定理
$(a+b)^n=\sum \limits_{k=0}^{n} C_n^ka^{m-k}b^k$
當$n=1$時候
$(a+b)^n=C_1^0a+C_1^1b=a+b$
二項式定理顯然成立。
用數學歸納法證明。
現在假設當$n=m$的時候二項式定理成立，那么當$n=m+1$時。
$\begin{array}{rcl}(a+b)^{m+1} & = & a(a+b)^m+b(a+b)^m\\ & = & a\sum \limits_{k=0}^{m}C_m^ka^{m-k}b^{k}+b\sum \limits_{k=0}^{m}C_m^ka^{m-k}b^{k}\\ & = & a(\sum \limits_{k=1}^{m}C_m^ka^{m-k}+a^m)+b(\sum \limits_{k=0}^{m-1}C_m^ka^{m-k}b^k+b^m) \\ & = & a^{m+1}+b^{m+1}+\sum \limits_{k=1}^{m}C_m^ka^{m-k+1}+\sum \limits_{k=1}^{m}C_m^{k-1}a^{m-k+1}b^{k} \\ & = & a^{m+1}+b^{m+1}+\sum \limits_{k=1}^{m}[(C_m^k+C_m^{k-1})]a^{m-k+1}b^k \\ & = & a^{m+1}+b^{m+1}+\sum \limits_{k=1}^{m}C_{m+1}^ka^{m-k+1}b^k \\ & = & \sum \limits_{k=0}^{0}C_{m+1}^{k}a^{m-k+1}b^{k}+\sum \limits_{k=m+1}^{m+1}C_{m+1}^{k}a^{m-k+1}b^{k}+\sum \limits_{k=1}^{m}C_{m+1}^ka^{m-k+1}b^k \\ & = & \sum \limits_{k=0}^{m+1}C_{m+1}^{k}a^{m+1-k}b^{k} \end{array}$
得證。
2.$Lucas$定理
用二項式定理和費馬小定理來證明。
設$n=kp+a,m=lp+b$
$C_n^m=C_k^lC_a^b$
由費馬小定理：
$x^{p-1}\equiv 1(mod\ p)$
$(1+x)^p\equiv(1+x)^{p-1}(1+x)\equiv1(1+x)\equiv1+1x\equiv1+x^{p-1}x\equiv1+x^p (mod\ p)$
由二項式定理得：
$(1+x)^n=\sum\limits_{i=0}^{n}C_n^ix^i$
那么接下來證明$Lucas$定理
$(1+x)^n=(1+x)^{kp}(1+x)^a$
$=(1+x^p)^k(1+x)^a$
$=\sum\limits_{i=0}^kC_k^ix^{ip}\sum\limits_{j=0}^aC_a^jx^j$
分離出兩邊$x^m$的項
$left=C_n^mx^m$
$right=C_k^lC_a^bx^{ip}x^{j}=C_k^lC_a^bx^{m}(ip+j=m\ ->\ i=l\ andj=b)$
$left=right$
$C_n^m=C_k^lC_a^b$
得證。