KM(Kuhn-Munkres)算法求帶權二分圖的最佳匹配

相關概念

這個算法個人覺得一開始時有點難以理解它的一些概念，特別是新定義出來的，因為不知道是干嘛用的。但是，在了解了算法的執行過程和原理后，這些概念的意義和背后的作用就漸漸的顯示出來了。因此，先暫時把相關概念列出來，看看，有個大概印象就好，等到了解了算法的流程后，在看原理中會有這些概念，那個時候回來細看就好了。

完備匹配：定義 設G＝<V1，V2，E>為二部圖，|V1|≤|V2|，M為G中一個最大匹配，且|M|＝|V1|，則稱M為V1到V2的完備匹配。 也就是說把一個集合中的點全部匹配到另一個集合中。（之所以先介紹這個概念，是因為當時看了很久，好多概念里都有提到完備匹配，但是我並不知道什么是完備匹配。）在上述定義中，若|V2|＝|V1|，則完備匹配即為完美匹配，若|V1|<|V2|，則完備匹配為G中最大匹配。

二分圖最優匹配：對於二分圖的每條邊都有一個權（非負），要求一種完備匹配方案，使得所有匹配邊的權和最大，記做最優完備匹配。（特殊的，當所有邊的權為1時，就是最大完備匹配問題）

二分圖帶權匹配與最優匹配：什么是二分圖的帶權匹配？二分圖的帶權匹配就是求出一個匹配集合，使得集合中邊的權值之和最大或最小。而二分圖的最優匹配則一定為完備匹配，在此基礎上，才要求匹配的邊權值之和最大或最小。二分圖的帶權匹配與最優匹配不等價，也不互相包含。

以下是一些轉換的思路：

KM算法是求最大權完備匹配，如果要求最小權完備匹配怎么辦？方法很簡單，只需將所有的邊權值取其相反數，求最大權完備匹配，匹配的值再取相反數即可。

KM算法的運行要求是必須存在一個完備匹配，如果求一個最大權匹配(不一定完備)該如何辦？依然很簡單，把不存在的邊權值賦為0。

KM算法求得的最大權匹配是邊權值和最大，如果我想要邊權之積最大，又怎樣轉化？還是不難辦到，每條邊權取自然對數，然后求最大和權匹配，求得的結果a再算出e^a就是最大積匹配。至於精度問題則沒有更好的辦法了。

下面是算法需要而建立的概念：

頂標：每個節點與另一個集合中節點之間的最大權值

可行頂標：對於原圖中的任意一個結點，給定一個函數L(node)求出結點的頂標值。我們用數組lx(x)記錄集合X中的結點頂標值，用數組ly(y)記錄集合Y中的結點頂標值。 並且，對於原圖中任意一條邊\(edge(x,y)\)，都滿足\(lx(x)+ly(x)>=weight(x,y)\)。

相等子圖：設 G(V,E) 為二部圖， G'(V,E') 為二部圖的子圖。如果對於 G' 中的任何邊<x,y> 滿足， \(lx(x)+ ly(y)== weight(x,y)\)，我們稱 G'(V,E') 為 G(V,E) 的等價子圖或相等子圖（是G的生成子圖）。

算法流程

這里有一篇比較好的男女找對象指南博客講解了KM算法的執行過程，生動而又形象。主要理解過程中是怎么滿足配對條件的，不滿足后怎么辦，過程中降低期望值d是怎么求得的，在配對失敗期望值進行更改以后發生了那些變化，這些變化為新的一輪的匹配帶來了什么？

此處有鏈接

算法原理：

搞清楚算法流程后對算法的原理就會很好奇（可能吧~），為什么要這樣做，這樣做后為什么會產生這些改變，為什么利用這些改變就可以得出最終結果？

在詳細介紹原理前，可以先看一下這篇博客（有圖），根據算法流程介紹原理，可以直觀感受一下，寫的還是很清晰的，就是字有點小

此處有鏈接

算法的正確性基於以下定理：(相關概念就可以倒回去看了)

若由二分圖中所有滿足\(lx(x)+ly(y)==weight(x,y)\)的邊(x,y)構成的子圖（稱做相等子圖）有完備匹配，那么這個完備匹配就是二分圖的最大權匹配。

因為對於二分圖的任意一個匹配，如果它包含於相等子圖，那么它的邊權和等於所有頂點的頂標和；如果它有的邊不包含於相等子圖，那么它的邊權和小於所有頂點的頂標和（即不是最優匹配）。所以相等子圖的完備匹配一定是二分圖的最大權匹配。

​ 初始時為了使\(lx(x)+ly(y)>=weight(x,y)\)恆成立，令lx(x)為所有與頂點Xi關聯的邊的最大權，ly(y)=0。如果當前的相等子圖沒有完備匹配，就按下面的方法修改頂標以使擴大相等子圖，直到相等子圖具有完備匹配為止。

​ 我們求當前相等子圖的完備匹配失敗了，是因為對於某個X頂點，我們找不到一條從它出發的交錯路。這時我們獲得了一棵交錯樹，它的葉子結點全部是X頂點（因為沒法跟Y匹配下去了，終止在X）。現在我們把交錯樹中X頂點的頂標全都減小某個值d，Y頂點的頂標全都增加同一個值d（注意是交錯樹中的頂點，也就是匹配的女生和被訪問的男生），那么我們會發現：（這個過程就對應於男女生配對中女生配對失敗后的情況）

​

​ 1）兩端都在交錯樹中的邊(x,y)，lx(x)+ly(y)的值沒有變化。也就是說，它原來屬於相等子圖，現在仍屬於相等子圖。

　　2）兩端都不在交錯樹中的邊(x,y)，lx(x),ly(y)都沒有變化。也就是說，它原來屬於（或不屬於）相等子圖，現在仍屬於（或不屬於）相等子圖。

　　3）X端不在交錯樹中，Y端在交錯樹中的邊(x,y)，它的lx(x)+ly(y)的值有所增大。它原來不屬於相等子圖，現在仍不屬於相等子圖。

　　4）X端在交錯樹中，Y端不在交錯樹中的邊(x,y)，它的lx(x)+ly(y)的值有所減小。也就說，它原來不屬於相等子圖，現在可能進入了相等子圖，因而使相等子圖得到了擴大。

​ 現在的問題就是求d值了。為了使\(lx(x)+ly(y)>=weight(x,y)\) 始終成立，且至少有一條邊進入相等子圖，d應該等於：{\(Minlx(x)+ly(y)-weight(x,y)|x在交錯樹中，y不在交錯樹中\)}。

以上是KM算法的基本思想。但是朴素的實現方法，時間復雜度為O(n4)——需要找\(O(n)\)次增廣路，每次增廣最多需要修改\(O(n)\)次頂標，每次修改頂標時由於要枚舉邊來求d值，復雜度為\(O(n^2)\)。實際上KM算法的復雜度是可以做到\(O(n^3)\)的。我們給每個Y頂點一個“松弛量”函數slack，每次開始找增廣路時初始化為無窮大。在尋找增廣路的過程中，檢查邊(x,y)時，如果它不在相等子圖中，則讓slack[y]變成原值與weight(x,y)-lx(x)-ly(y)的較小值（就是男生女生配對的求d的過程）。這樣，在修改頂標時，取所有不在交錯樹中的Y頂點的slack值中的最小值作為d值即可。但還要注意一點：修改頂標后，要把所有的不在交錯樹中的Y頂點的slack值都減去d（對應就是未被訪問的男生離女生更近了一步）。

代碼

以下代碼基於HDU2255奔小康賺大錢

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <memory.h>
#define max_n 305
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;
int n;//一個集合中的頂點數
int love[max_n][max_n];//兩個不同集合點之間的權值，即男女好感度
int ex_girl[max_n];//女生頂標
int ex_boy[max_n];//男生頂標
int vis_girl[max_n];//記錄女生是否參與匹配
int vis_boy[max_n];//記錄男生是否被嘗試匹配
int slack[max_n];//松弛函數，以求出頂標的最小改變量d
int match[max_n];//記錄匹配關系

int dfs(int girl)
{
    vis_girl[girl] = 1;
    for(int boy = 0;boy<n;boy++)
    {
        if(vis_boy[boy]) continue;//每次dfs每個男生都只能被訪問一次
        int gap = ex_girl[girl]+ex_boy[boy]-love[girl][boy];//看看L(x)+L(y)-weight(x,y)的值
        if(gap==0)//如果滿足匹配規則
        {
            vis_boy[boy] = 1;//當前男生已被訪問
            if(match[boy]==-1||dfs(match[boy]))//如果男生無主或者他的女生可以拋棄他
            {
                match[boy] = girl;//就給男生匹配新的女生
                return 1;//配對成功
            }
        }
        else
        {
            slack[boy] = min(gap,slack[boy]);//如果無法滿足匹配規則，看男生要能跟女生匹配還差多少，不斷更新這個差值
        }
    }
    return 0;
}
int KM()
{
    memset(match,-1,sizeof(match));//全部標記為未匹配
    memset(ex_boy,0,sizeof(ex_boy));//男生頂標初始化為零
    for(int i = 0;i<n;i++)//求出女生頂標，即這個女生與男生好感度的最大值
    {
        ex_girl[i] = love[i][0];
        for(int j = 1;j<n;j++)
        {
            ex_girl[i] = max(ex_girl[i],love[i][j]);
        }
    }
    for(int i = 0;i<n;i++)//對每個女生開始匹配
    {
        fill(slack,slack+n,INF);//松弛函數初始化為無限大
        while(1)
        {
            memset(vis_girl,0,sizeof(vis_girl));//每次dfs前清除標記數組
            memset(vis_boy,0,sizeof(vis_boy));
            if(dfs(i)) break;//當前女生匹配成功
            int d = INF;//若未成功
            for(int j = 0;j<n;j++)
            {
                if(vis_boy[j]==0)
                {
                    d = min(d,slack[j]);//看最小需要將第多少期望值能夠匹配成功
                }
            }
            for(int j = 0;j<n;j++)
            {
                if(vis_girl[j])
                {
                    ex_girl[j] -= d;//對參與匹配的女生降低期望值
                }
                if(vis_boy[j])
                {
                    ex_boy[j] += d;//對被訪問的男生提高期望值，上面兩個步驟使得
                    //1.參與匹配的女生跟滿足匹配規則匹配的男生仍然可匹配
                    //2.參與匹配的女生跟本未被訪問的男生可能滿足規則，擴大了匹配范圍
                    //3.未參與匹配的女生跟更不可能匹配被訪問的男生
                    //4.未參與匹配的女生跟未被訪問的男生依然不能匹配
                }
                else
                {
                    slack[j] -= d;//未被訪問的男生離女生跟進了一步
                }
            }
        }
    }
    int ans = 0;
    for(int i = 0;i<n;i++)
    {
        if(match[i]>-1)
        {
            ans += love[match[i]][i];
        }
    }
    return ans;
}
int main()
{
    while(~scanf("%d",&n))
    {
        for(int i = 0; i<n; i++)
        {
            for(int j = 0; j<n; j++)
            {
                scanf("%d",&love[i][j]);
            }
        }
        printf("%d\n",KM());
    }
    return 0;
}

參考文章

x_y_q_ ，帶權二分圖的最佳匹配（KM算法）， https://blog.csdn.net/x_y_q_/article/details/51927054 （偏向原理）

SixDayCoder，二分圖的最佳完美匹配——KM算法，https://blog.csdn.net/sixdaycoder/article/details/47720471 （概念向）

wenr，KM算法詳解+模板，https://www.cnblogs.com/wenruo/p/5264235.html （算法流程介紹）

kuangbin， Kuhn-Munkres算法（二分圖最大權匹配），https://www.cnblogs.com/kuangbin/archive/2012/08/19/2646535.html （總結向）