參考《啊哈算法》
有一種很特別的圖，就做二分圖，那什么是二分圖呢？就是能分成兩組，S,T。其中，S上的點不能相互連通，只能連去T中的點，同理，T中的點不能相互連通，只能連去S中的點。這樣，就叫做二分圖。
舉個很通俗的例子，現在有三個男生和三個女生，要組隊一起去報名旅游（情侶報名可以半價哦！），所以，他們就想盡辦法湊成一對，就算不是情侶，都說是啦，為了減錢，更可況，我們這些單身狗就是靠這些機會脫單的，￣□￣｜｜。……..為什么可以看成二分圖呢？你想啊，男和男在一對，搞基啊？所以，同性的我們規定不能在一起。那么現在問題來了，我現在想知道它們6個人，能組成多少對？這就引入了一個新的問題：二分圖的最【大】匹配。顧名思義，就是求二分圖中能組成的最大匹配數，比如那6個最多能組成3對，但是能不能組成還是要看條件的。因為小時候爺爺教過我們，不能隨便和陌生人打交道嘛，所以我們這里規定，它們只有在認識（就是圖能連通) 的情況下，才能組成一對。
現在有男孩：A、B、C
女孩：X、Y、Z
下面給出他們的關系，看清楚那。A認識X、Y
B認識Y、Z 由於C比較內向，只認識X
好啦，現在就要求他們最多能組成多少對啦！唉，為了減錢，費點腦力，值！其實一看就知道了：3對。A—Y B—Z C—X 。但是，我們沒辦法一下子就得出這個結論的，為什么呢？因為A B C本來互不認識，A也不知道C是不是認識X，所以，A去搭配X或者Y對於A來說是一樣的，為什么一定要A搭配Y？所以，我們就算他們不認識，我們也要用算法解他們出來，這就是我們的二分圖的最大匹配。現在我們來模擬一下整個過程？首先，A來到X小姐面前，禮貌地問：Could I travel with you? X小姐想都沒想，立馬答應了（這里我們假設女的一定要答應任何一個男的，為什么？無解，因為我們只是求他們搭配的最大對數，其他的都是次要的，但是我們后面說的最佳匹配，那就不同了）。然后到B先生了，首先，他來到Y中，和Y組合了一起。現在輪到C先生了，C只認識X，然后他去到X小姐身邊，說：I wanner ……遺憾的是：X小姐說：我已經和別人組成一隊了啊？（怎么辦？C先生顏值好像比較高，好想和他一起組隊啊……）咦？“你等等，我去問問A先生能不能和別人一起組隊先。”X小姐說。然后A先生就只能跑去Y小姐那里了（因為A先生也認識Y小姐），禮貌地問：Could I travel with you? 哇塞！Y小姐最喜歡會說英語的男人了，但是我已經有隊伍了啊。咦？你們猜到了吧，如法炮制。對A說：你等等，我問問B能不能和別人組隊。然后到B了，他去問Z，我們….能在一起….組隊嗎？沒人搭理的Z小姐當然願意啦，就說：“我正好空着呢！我們一起吧！”。然后，B就告訴Y，我找到別人啦，88。Y告訴A，我們可以一起去啦，yeah！！！（心想）。然后A告訴X，我找到人啦，886。然后X告訴C，我們可以一起去啦。￣□￣｜｜…..弄了那么久，終於使匹配數增加一了，這里我們把它叫做增廣路。增廣路的作用就是“改進”匹配方案（也就是增加匹配對數），那么我們怎么確定他就是最大匹配呢？如果當前匹配方案下再也找不到增廣路，那就是最大匹配了，算法如下：
#include <stdio.h> #include <stdlib.h> #include <string.h> int n,m;//頂點數n和邊的數目m int e[51][51];//保存一個無向圖 int book[51];//每次都標記那個去了和那個沒去 int match[51];//標記那個是匹配那個的 #define inf 9999//假設的無窮大 int dfs (int u) { int i; for (i=1;i<=n;i++) { if (book[i]==0&&e[u][i]==1)//這個點在同一次上沒去過，而且他們能聯通 { book[i]=1;//這個點已經嘗試過了 if (match[i]==0||dfs(match[i]))//這個點還沒有被匹配， //或者，他可以匹配其他的人 { //他們就能夠匹配 match[i]=u;//判斷哪個，就是修改那個 //match[u]=i;不用的，錯誤的 return 1; } } } return 0; } void work () { scanf ("%d%d",&n,&m);//輸入頂點數n和邊的數目m int i; int j; for (i=1;i<=n;i++) { for (j=1;j<=n;j++) { if (i==j) e[i][j]=0;//初始化 else e[i][j]=inf; } } for (i=1;i<=m;i++) { int u,v; scanf ("%d%d",&u,&v); e[u][v]=1; e[v][u]=1;//無向圖 } int i_count=0; for (i=1;i<=n;i++)//嘗試遍歷每一個頂點 { memset (book,0,sizeof(book)); if (dfs(i)) { i_count++;//若能找到新的匹配，就++ } } printf ("%d\n",i_count); return ; } int main () { work (); system ("pause"); return 0; }
遠處傳來一陣呼聲：“此路是我開，此樹是我栽，要想過此路，留低買路財！！！”————他們遇到山賊了！怎么辦怎么辦？對面雖然只有三個山賊，但是實力估計去到14點，我們雖說有六個人，但是，A搭配Y，力量有7點，B搭配Z，力量只有1點，（怎么那么少？嘿嘿，他們兩個都是文化生，不好動武嘛！），C搭配X，力量有5點，￣□￣｜｜ 還差一點，難道這次旅游就倒在這里？是給錢還是怎樣呢？想來想去，A和C就說，B你為什么那么弱？只有1點？
B：………… 要是能高一點，也就好了，這樣吧，我們重新搭配吧，因為經過昨晚的狂歡，他們已經是互相認識了，另外，他們的搭配默契度有所不同哦，（默契度就是他們的力量），現在看看這個表格:
看來他們的默契度也不是很少,只是，B搭配Z太小了，這是她們打不過山賊的短板！現在我們要怎樣重組，才能打贏山賊呢？這就是我們的：二分圖的最【佳】匹配啦！顧名思義，就是在考慮能搭配的情況下，又要使得搭配后，整張圖邊的權值加起來是最大的，這樣的匹配，我們稱為最佳匹配。也叫KM算法
貪心選邊：何為貪心選邊？貪心，就是一個尋找局部最優解的過程，至於是不是全局最優解，需要證明才能用。就算不能每次選出最大值的邊，但是選出來的邊的總和都是前n個最優的。通俗點講，就是每次都選擇搭配最高的，就是現在的A，搭配Y是最高的，所以我們先把A—>Y。至於這樣會不會影響后面的呢？就好像BàY也是B中最高的，是5。這樣就會產生歧義，因為一個人不能同時匹配多個嘛。那么究竟是A-->Y，還是B-->Y呢？有人笑了，這不很簡單嗎？A-->Y是7，B-->Y是5，當然是A-->Y啊，比較大啊。那答案是不是這樣的呢？其實很容易證明他是不一定的，因為我們這里求的是全局最優解，不能因為個人匹配最大而否定別人，可以舉個極端的例子：假如：現在的B除了搭配Y是5外，他搭配X,Z都是比較小的，是-inf，就是負無窮，那么，當然要讓讓B啊，不然就不是全局最優解了。那么，我們怎么來確定誰選誰呢？
這里我們用兩個數組，也稱為標桿，fx[]和fy[]。
其中，開始的時候，fx[]的值為匹配的最大值，fy[]的值先初始化為0。
// fx[]={0,7,5,7},fy[]={0,0,0,0},
//前面一個fx[0]我沒用，同理fy
這里我們判斷兩人是否能匹配的時候，多加一個條件，就是fx[u]+fy[i]==e[u][i];//就是這兩個人匹配的值，要存在這個圖中。開始的時候相加是最大值。
我們先來看看KM算法的實現:
void do_km() { int i,j; int d=inf; for (i=1;i<=n ;i++ ) { if (vx[i]==1) { for (j=1;j<=n ;j++ ) { if (vy[j]==0) { if (d>fx[i]+fy[j]-e[i][j]) { d=fx[i]+fy[j]-e[i][j]; //選出邊差的最小值 } } } } } //對於每個存在vx中的 //和每個存在vy中的 for (i=1;i<=n ;i++ ) { if (vx[i]==1) { fx[i] -= d; vx[i]=0;//取消標記 } if (vy[i]==1) { fy[i] += d; vy[i]=0; } } //這樣，由於vx比vy總是要多，所以，總體減小得 return ; }
有什么用呢？就是用來比較是不是應該這樣匹配。此話怎講？就是，開始的時候，A和Y搭配了，輪到B選人了，B說：我要和Y搭配，“為什么？“A說，B：…….對啊，為什么？大家都是最大值，憑什么我讓你？這樣，他們產生了隔閡，好吧，KM算法幫你們吧，KM:你們大家都覺得自己說最大的，但是你們能不能為全局想想，我要的是全局最大而不是你們自己最大。這樣吧，A，你除了搭配Y外，搭配其他的，相對於搭配Y來說，你的力量值會減小多少？A:減少1，我和X搭配有6，KM:好好，那么，B一樣，你除了搭配Y，的力量值減小多少？B:減少1，我和X搭配的話，力量有4。此時我們用d來記錄他們的最小差值。現在d=1;此時：fx和fy做出了相應的變化。先講規律再解釋：那就是：所有vx[i]==1的i，fx[i] -= d;所有的vy[i]==1的i，fy[i] += d;就是所有主動去過搭配別人的，因為產生過歧義，所以大家都降低了自己的要求。而所有被人邀請過的，都擺起了架子。這樣，由於，vx[]的數目總是比vy[]的數目多的。為什么？你想啊，你本來標記vy[i]=1;是有多困難啊，比標記vx[]難很多。這樣，總體來說，fx[]和fy[]的和總體減少，這樣，就為我們添加一條新的邊提供了空間。此時，我們再一次為B找匹配，先來看看fx和fy的值
fx[]={6,4,7} fy[]={0,1,0}，這樣，B就能匹配去X了。KM:那么就是大家減少都一樣， B你就先搭配X吧。B：OK，為全局考慮。
后面的處理，其實是一樣的，到C了，如果認真的同學，一步一步運算的話，可以發現，C沒得搭配，本來C是去搭配Y的，但是，fy[2]=1，他已經擺起了架子，所以，C這么大要求已經不能滿足Y了，所以，C自己再進行一次KM算法，C減去了1（一步一步模擬，就知道為什么是減去1而不是減去2了），就能搭配Y啦，喂喂喂！好玩嗎?Y是A的，你們干嘛了，同理，發現A去搭配X是6減小1，而C搭配X是5減小2，所以，A就搭配X啦，B：………X不是我的嗎？同理，發現X搭配Z是1（此時X已經不能搭配Y了，因為在遞歸中，vy[2]已經被標記），減小3，A搭配Z是5減小1，這樣，A就搭配了Z了，到此，算法結束，最優解產生，A搭配Z是5,B搭配X是4,C搭配Y是7。
最優解的ans=16，已經可以打敗土匪了，累……去來旅游不容易啊，也看出了，生活處處是算法啊。
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