二分圖如果是沒有權值的，求最大匹配。則是用匈牙利算法求最大匹配。如果帶了權值，求最大或者最小權匹配，則必須用KM算法。
其實最大和最小權匹配都是一樣的問題。只要會求最大匹配，如果要求最小權匹配，則將權值取相反數，再把結果取相反數，那么最小權匹配就求出來了。
KM算法及其難理解。。。看了幾天還無頭緒。
先拿上一直采用的KM算法模板，按照吉林大學的模板寫的。試試了好多次感覺都沒有出錯。
/****************************************************** 二分圖最佳匹配 （kuhn munkras 算法 O(m*m*n)). 鄰接矩陣形式 。 返回最佳匹配值，傳入二分圖大小m,n 鄰接矩陣 mat ，表示權，match1,match2返回一個最佳匹配,為匹配頂點的match值為-1， 一定注意m<=n，否則循環無法終止，最小權匹配可將全職取相反數。 初始化： for(i=0;i<MAXN;i++) for(j=0;j<MAXN;j++) mat[i][j]=-inf; 對於存在的邊：mat[i][j]=val;//注意不能負值 ********************************************************/ #include<string.h> #define MAXN 310 #define inf 1000000000 #define _clr(x) memset(x,-1,sizeof(int)*MAXN) int KM(int m,int n,int mat[][MAXN],int *match1,int *match2) { int s[MAXN],t[MAXN],l1[MAXN],l2[MAXN]; int p,q,i,j,k,ret=0; for(i=0;i<m;i++) { l1[i]=-inf; for(j=0;j<n;j++) l1[i]=mat[i][j]>l1[i]?mat[i][j]:l1[i]; if(l1[i]==-inf) return -1; } for(i=0;i<n;i++) l2[i]=0; _clr(match1); _clr(match2); for(i=0;i<m;i++) { _clr(t); p=0;q=0; for(s[0]=i;p<=q&&match1[i]<0;p++) { for(k=s[p],j=0;j<n&&match1[i]<0;j++) { if(l1[k]+l2[j]==mat[k][j]&&t[j]<0) { s[++q]=match2[j]; t[j]=k; if(s[q]<0) { for(p=j;p>=0;j=p) { match2[j]=k=t[j]; p=match1[k]; match1[k]=j; } } } } } if(match1[i]<0) { i--; p=inf; for(k=0;k<=q;k++) { for(j=0;j<n;j++) { if(t[j]<0&&l1[s[k]]+l2[j]-mat[s[k]][j]<p) p=l1[s[k]]+l2[j]-mat[s[k]][j]; } } for(j=0;j<n;j++) l2[j]+=t[j]<0?0:p; for(k=0;k<=q;k++) l1[s[k]]-=p; } } for(i=0;i<m;i++) ret+=mat[i][match1[i]]; return ret; }
下面是從網上的博客摘抄的一些零散的總結。。。。。
[二分圖帶權匹配與最佳匹配]
什么是二分圖的帶權匹配？二分圖的帶權匹配就是求出一個匹配集合，使得集合中邊的權值之和最大或最小。而二分圖的最佳匹配則一定為完備匹配，在此基礎上，才要求匹配的邊權值之和最大或最小。二分圖的帶權匹配與最佳匹配不等價，也不互相包含。
這兩個的關系比較懸乎。我的理解就是帶權匹配是不考慮是不是完備，只求最大或最小權匹配。而最佳匹配則必須在完備匹配的基礎上找最大或最小權匹配。
這兩個還是結合具體題目比較好理解些。
KM算法是求最大權完備匹配，如果要求最小權完備匹配怎么辦？方法很簡單，只需將所有的邊權值取其相反數，求最大權完備匹配，匹配的值再取相反數即可。
KM算法的運行要求是必須存在一個完備匹配，如果求一個最大權匹配(不一定完備)該如何辦？依然很簡單，把不存在的邊權值賦為0。
KM算法求得的最大權匹配是邊權值和最大，如果我想要邊權之積最大，又怎樣轉化？還是不難辦到，每條邊權取自然對數，然后求最大和權匹配，求得的結果a再算出e^a就是最大積匹配。至於精度問題則沒有更好的辦法了。
二分圖最優匹配：對於二分圖的每條邊都有一個權（非負），要求一種完備匹配方案，使得所有匹配邊的權和最大，記做最優完備匹配。（特殊的，當所有邊的權為1時，就是最大完備匹配問題）
定義 設G＝<V1，V2，E>為二部圖，|V1|≤|V2|，M為G中一個最大匹配，且|M|＝|V1|，則稱M為V1到V2的完備匹配。
在上述定義中，若|V2|＝|V1|，則完備匹配即為完美匹配，若|V1|<|V2|，則完備匹配為G中最大匹配。
KM算法是通過給每個頂點一個標號（叫做頂標）來把求最大權匹配的問題轉化為求完備匹配的問題的。設頂點Xi的頂標為A[i]，頂點Yi的頂標為B[i]，頂點Xi與Yj之間的邊權為w[i,j]。在算法執行過程中的任一時刻，對於任一條邊(i,j)，A[i]+B[j]>=w[i,j]始終成立，初始A[i]為與xi相連的邊的最大邊權，B[j]=0。KM算法的正確性基於以下定理：
若由二分圖中所有滿足A[i]+B[j]=w[i,j]的邊(i,j)構成的子圖（稱做相等子圖）有完備匹配，那么這個完備匹配就是二分圖的最大權匹配。
因為對於二分圖的任意一個匹配，如果它包含於相等子圖，那么它的邊權和等於所有頂點的頂標和；如果它有的邊不包含於相等子圖，那么它的邊權和小於所有頂點的頂標和（即不是最優匹配）。所以相等子圖的完備匹配一定是二分圖的最大權匹配。
該算法是通過給每個頂點一個標號（叫做頂標）來把求最大權匹配的問題轉化為求完備匹配的問題的。設頂點Xi的頂標為A[ i ]，頂點Yj的頂標為B[ j ]，頂點Xi與Yj之間的邊權為w[i,j]。在算法執行過程中的任一時刻，對於任一條邊(i,j)，A[ i ]+B[j]>=w[i,j]始終成立。
KM算法的正確性基於以下定理：
若由二分圖中所有滿足A[ i ]+B[j]=w[i,j]的邊(i,j)構成的子圖（稱做相等子圖）有完備匹配，那么這個完備匹配就是二分圖的最大權匹配。
首先解釋下什么是完備匹配，所謂的完備匹配就是在二部圖中，X點集中的所有點都有對應的匹配或者是
Y點集中所有的點都有對應的匹配，則稱該匹配為完備匹配。
這個定理是顯然的。因為對於二分圖的任意一個匹配，如果它包含於相等子圖，那么它的邊權和等於所有頂點的頂標和；如果它有的邊不包含於相等子圖，那么它的邊權和小於所有頂點的頂標和。所以相等子圖的完備匹配一定是二分圖的最大權匹配。
初始時為了使A[ i ]+B[j]>=w[i,j]恆成立，令A[ i ]為所有與頂點Xi關聯的邊的最大權，B[j]=0。如果當前的相等子圖沒有完備匹配，就按下面的方法修改頂標以使擴大相等子圖，直到相等子圖具有完備匹配為止。
我們求當前相等子圖的完備匹配失敗了，是因為對於某個X頂點，我們找不到一條從它出發的交錯路。這時我們獲得了一棵交錯樹，它的葉子結點全部是X頂點。現在我們把交錯樹中X頂點的頂標全都減小某個值d，Y頂點的頂標全都增加同一個值d，那么我們會發現：
1）兩端都在交錯樹中的邊(i,j)，A[ i ]+B[j]的值沒有變化。也就是說，它原來屬於相等子圖，現在仍屬於相等子圖。
2）兩端都不在交錯樹中的邊(i,j)，A[ i ]和B[j]都沒有變化。也就是說，它原來屬於（或不屬於）相等子圖，現在仍屬於（或不屬於）相等子圖。
3）X端不在交錯樹中，Y端在交錯樹中的邊(i,j)，它的A[ i ]+B[j]的值有所增大。它原來不屬於相等子圖，現在仍不屬於相等子圖。
4）X端在交錯樹中，Y端不在交錯樹中的邊(i,j)，它的A[ i ]+B[j]的值有所減小。也就說，它原來不屬於相等子圖，現在可能進入了相等子圖，因而使相等子圖得到了擴大。
現在的問題就是求d值了。為了使A[ i ]+B[j]>=w[i,j]始終成立，且至少有一條邊進入相等子圖，d應該等於：
Min{A[ i ]+B[j]-w[i,j] | Xi在交錯樹中，Yi不在交錯樹中}。 以上就是KM算法的基本思路。但是朴素的實現方法，時間復雜度為O(n4)——需要找O(n)次增廣路，每次增廣最多需要修改O(n)次頂標，每次修改頂標時由於要枚舉邊來求d值，復雜度為O(n2)。實際上KM算法的復雜度是可以做到O(n3)的。我們給每個Y頂點一個“松弛量”函數slack，每次開始找增廣路時初始化為無窮大。在尋找增廣路的過程中，檢查邊(i,j)時，如果它不在相等子圖中，則讓slack[j]變成原值與A[ i ]+B[j]-w[i,j]的較小值。這樣，在修改頂標時，取所有不在交錯樹中的Y頂點的slack值中的最小值作為d值即可。但還要注意一點：修改頂標后，要把所有的不在交錯樹中的Y頂點的slack值都減去d。
Kuhn－Munkras算法流程：
(1)初始化可行頂標的值
(2)用匈牙利算法尋找完備匹配
(3)若未找到完備匹配則修改可行頂標的值
(4)重復(2)(3)直到找到相等子圖的完備匹配為止
最后還是強調一點：
KM算法用來解決最大權匹配問題： 在一個二分圖內，左頂點為X，右頂點為Y，現對於每組左右連接XiYj有權wij，求一種匹配使得所有wij的和最大。
也就是最大權匹配一定是完備匹配。如果兩邊的點數相等則是完美匹配。
如果點數不相等，其實可以虛擬一些點，使得點數相等，也成為了完美匹配。
最大權匹配還可以用最大流去解決。。。有待以后的學習。。