目錄
初等啟發
最近和中學生多了一些接觸，遇到了一個有趣的問題。
在坐標系$xOy$中，在$x$軸正半軸上有一動點$A$，$y$軸正半軸上有一動點$B$，二者的依賴關系是$\triangle AOB$面積是定值，求線段$AB$圍出的區域。更一般的依賴關系呢？例如$AB$長度是定值？
問題的答案是，當依賴關系是$\triangle AOB$面積是定值時，圍出的區域是第一象限的雙曲線$xy=\lambda$的下方；當依賴關系是$AB$長度是定值時，圍出的區域是第一象限的星形線$x^{2/3}+y^{2/3}=\lambda^{2/3}$的下方，其中$\lambda$是一個常數。如圖
這個問題當然是初等的，以長度為定值為例，遵循如下思路便可在高中知識內解決
- 方便起見，假設長度是定值$1$.
- 這族曲線可以統一寫作$\frac{x}{\cos \theta}+\frac{y}{\sin \theta}=1$.
- 固定$x=x_0$，計算此時這族直線交$\{x=x_0\}$的最高點，即$y=\sin \theta+x_0\tan \theta$的取值范圍。
- 具體來說，對$\theta$求導求出最值點$\theta$滿足$\cos \theta=\sqrt[3]{x_0}$得到最值$y=\sqrt{1-\sqrt[3]{x_0^2}}(1-\sqrt[3]{x_0^2})$。
- 故區域的邊界滿足$x^{2/3}+y^{2/3}=1$.
以上過程后文會有引用，故全盤托出。縱觀以上問題，關鍵在於求出區域的邊界，對於每個$x=x_0$，關鍵的點是那些最值點。假如依賴關系得到的這族直線方程可用參數$t$標作$f(x,y,t)=0$，那么我們要求的『邊界』應該滿足如下方程$$\begin{cases}f(x,y,t)=0\\ \frac{\partial f}{\partial t}(x,y,t)=0\end{cases}$$其中$\frac{\partial f}{\partial t}$表示$f$對$t$求導。這正是所謂的『包絡線』方程。
包絡曲線
一個經典的想法是用微分方程考慮這個問題
要找一條曲線處處切線都是滿足條件——截第一象限為一定長度。
假設曲線方程是$y=f(x)$，那么$(x_0,f(x_0))$處切線方程是$y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0)$，所謂的截距分別是$-\frac{f(x_0)}{f'(x_0)}+x_0$和$-x_0f'(x_0)+f(x_0)$，那么長度是定值$1$表明
$$\left(-\frac{f(x_0)}{f'(x_0)}+x_0\right)^2+\left(-x_0f'(x_0)+f(x_0)\right)^2=1$$
這個方程這可由參數代換法解出，假設$\begin{cases} -\frac{f(x)}{f'(x)}+x=\cos \theta\\ -xf'(x)+f(x)=\sin \theta \end{cases}$得到
$$\begin{cases}y'=-\tan \theta\\ y=\sin \theta-x\tan \theta\end{cases}$$
帶入$\mathrm{d}y=y'\mathrm{d}x$得到
$$\cos\theta\mathrm{d}\theta -x\frac{1}{\cos^2 \theta}\mathrm{d}\theta-\tan \theta\mathrm{d}x=-\tan \theta\mathrm{d}x$$
所以$\left(\cos\theta-x\frac{1}{\cos^2 \theta}\right)\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}x}=0$, 在每點有兩種可能性，其一是$\cos\theta-x\frac{1}{\cos^2 \theta}=0$，另一是$\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}x}$. 前者經過直接地代數變形就變成星形線，后者正對應着那些與之相切的直線（這樣的曲線當然滿足條件）。
正是所謂微分方程的奇解，這通常出現在隱式方程之中，定義為那些『任意一點附近都有與之相切的解』的解。當然，如標題所言，這還牽涉到包絡線，經典的包絡線是下面的星形線
微分方程和奇解和幾何上的包絡概念互相對應。
另一個驚為天人的奇思妙想是，這個曲線上每一點都是『靠近的兩條直線的交點』的極限。具體來說，$y=f(x)$在$x_0$的切線和$x_0+\Delta x$處的切線的交點應該不會距離$(x_0,f(x_0))$太遠，所以想要還原$y=f(x)$，需要遵循如下步驟
- 將這族曲線可以統一寫作$\frac{x}{\cos \theta}+\frac{y}{\sin \theta}=1$.
- 求$\begin{cases}\frac{x}{\cos \theta}+\frac{y}{\sin \theta}=1 \\ \frac{x}{\cos (\theta+\delta \theta)}+\frac{y}{\sin (\theta+\delta \theta)}=1 \end{cases}$的交點。
- 令$\Delta\theta\to 0$得到交點，這樣就得到了$y=f(x)$的表達式。
但是這樣操作極為繁瑣，映為直線方程難解。好在可微性允許我們只計算大致的結果，方程本質是$\begin{cases}f(x,y,t)=0\\ f(x,y,t+\Delta t)=0\end{cases}$，我們知道$f(x,y,t+\Delta t)=f(x,y,t)+\Delta t f_t(x,y,t)$，所以方程變成$$\begin{cases}f(x,y,t)=0\\ \frac{\partial f}{\partial t}(x,y,t)=0\end{cases}$$其中$\frac{\partial f}{\partial t}$表示$f$對$t$求導。我們又一次得到了包絡曲線的方程。
對偶曲線
在射影平面$\mathbb{P}^2$中，每一條直線$Ax+By+Cz=0$和點$[A,B,C]$一一對應，在此對應下可以對一條曲線$C$定義對偶曲線為
$$C^\vee=\{[a,b,c]: \textrm{直線$ax+by+cz=0$與$C$相切}\}$$
例如，曲線$C: xy=z^2$的所有切線形如$y_0x+x_0y-2z_0z=0$，其中$[x_0,y_0,z_0]$在$C$上，故對偶曲線是$C^\vee: xy=z^2/4$。而$(C^\vee)$的切線又形如$y_0^* x+x_0^*y-\frac{z_0^*}{2}z=0$，其中$[x_0^*,y_0^*,z_0^*]$在$C^\vee$上，故$C^\vee$的對偶曲線是$(C^\vee)^\vee: xy=z^2$又回到了自己。有了上文最末『驚為天人』的想法，這個結果並不令我們驚奇，因為在$\mathbb{P}^2$中直線和點的對應下，過兩點的直線對應到對應直線的交點，兩直線的交點對應到過對應點的連線，所以切線的交點$\leftrightarrow$對應點的連線，讓切線接近得到的點就對應到切線，所以『驚為天人』又『不出意料』地回到自己。
這一點可以嚴格證明，假設曲線被局部參數化作$[x_1(t),x_2(t),x_3(t)]$，要求切線，實際上是求$\mathbb{R}^3$中$(x_1(t)s,x_2(t)s,x_3(t)s)$的切空間，不難計算出切線方程是$ax+by+cz=0$，其中$(a,b,c)=(x_1,x_2,x_3)\wedge (x_1',x_2',x_3')$，其中$\wedge$是向量積。我們記$\mathbf{x}=(x_1(t),x_2(t),x_3(t))$，於是對偶曲線應該是$[x^*(t),y^*(t),z^*(t)]$, 其中$(x^*,y^*,z^*)=\mathbf{x}\wedge \mathbf{x'}$. 要證明對偶，下面的計算就變得關鍵
$$\begin{array}{rl} (\mathbf{x}\wedge \mathbf{x}')\wedge (\mathbf{x}\wedge \mathbf{x}')' & = (\mathbf{x}\wedge \mathbf{x}')\wedge \underbrace{(\mathbf{x}'\wedge \mathbf{x}')}_{=0} +(\mathbf{x}\wedge \mathbf{x}')\wedge (\mathbf{x}\wedge \mathbf{x}'') \\& = \left<\mathbf{x}\wedge \mathbf{x}',\mathbf{x}''\right>\mathbf{x}- \underbrace{\left<\mathbf{x}\wedge \mathbf{x}',\mathbf{x}\right>}_{=0}\mathbf{x}'' \\& = [\mathbf{x},\mathbf{x}',\mathbf{x}''] \mathbf{x} \end{array}$$
和$\mathbf{x}$是共線的，所以說明二次對偶和原本的曲線相同。
感謝劉奔和我交流討論。