對偶問題

線性規划中一個經典問題的描述如下：

　　某工廠有兩種原料A、B，而且能用其生產兩種產品：

1、生產第一種產品需要2個A和4個B，能夠獲利6；

2、生產第二種產品需要3個A和2個B，能夠獲利4；

此時共有100個A和120個B，問該工廠最多獲利多少？

用數學表達式描述如下：

已知：

2×X₁+3×X₂≤100

4×X₁+2×X₂≤120

求：

max 6×X₁+4×X₂

　　工廠除了拿原料生產成產品賣掉這條出路外，還有一種方法是直接將原料賣掉。當然，不管是怎么做都要利益越大話！也就是說，把原料賣掉賺的錢比生產成產品賺的錢多，才去會這樣做。那么最低可以接受多少的價格呢？假設資源A和B的單價分別為：Y1和Y2，那么可以用數學表達式描述如下：

已知：

2×Y₁+4×Y₂≥6

3×Y₁+2×Y₂≥4

求：

min 100×Y₁+120×Y₂

那么，這兩個問題互為對偶問題。

對偶問題的性質和定理如下：

1、對偶問題的對偶問題就是原問題。

2、如果X₀和Y₀分別是原問題和對偶問題的可行解，那么C×X₀≥Y₀×B。

3、如果X₀和Y₀分別是原問題和對偶問題的最優解，那么C×X₀₌Y₀×B。

4、有一對對偶問題，如果其中有一個問題有一個有限的最優解，則另一個也有最優解。

5、若線性規划原問題有一個對應於基B的最優基本可行解，則此時的單 純型乘子Y= C_BB^-1是相應於對偶問題的一個最優解。

6、若X和Y分別是原問題和對偶問題的可行解，則X和Y都是最優解的充要條件是，對所有i和j，下列關系式成立：

a、如果X_j>0，必有Y×P_j=c_j

b、如果Y×Pj<c_j，必有X_j=0

c、如果Y_i>0，必有A_i×X=b_i

d、如果A_i×X>b_i，必有Y_i=0

其中P_j是A的第j列，A_i是A的第i行，稱為互補松弛定理。

證明：

原問題標准化：

對應的“對偶問題”標准化后得到：

 

因為原問題和對偶問題會“同時”取得最優解，那么在取得最優解時有：

好了，現在開始真正的證明過程：

過程還是很簡單的，不過從整體上的過程可以學到很多的思想，也要學會用數學的表述去描述直觀的問題。

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