之前寫過一篇『映射的度』，雖然現在看還是有點naive，不過我覺得這種形式不錯。
代數拓撲中各式各樣的乘積眼花繚亂，叉積，cup積，cap積，相交積。關於對偶的表述也隨着乘積變得清晰。下面我們就來從各個角度介紹這件事。
目錄
綜述
對於拓撲空間$X$，記$C(X)$為奇異鏈復形。
對於拓撲空間$X,Y$，Eilenberg–Zilber 定理斷言存在一對映射
$$P: C(X)\otimes C(Y) \to C(X\times Y)\qquad Q: C(X\times Y)\to C(X)\otimes_R C(Y),$$
使得他們給出兩個鏈復形的同倫。具體的構造通常很有用，它們被稱為Eilenberg–Mac Lane映射和Alexander–Whitney映射。於是我們可以定義
- 外積。$H^*(X)\times H^*(Y)\to H^*(X\times Y)$。由$C(X,Y)\to C(X)\otimes C(Y)$反變誘導。
- Cup積。$H^*(X)\times H^*(X)\to H^*(X)$。由對角映射$C(X)\stackrel{\Delta}\to C(X\times C)\to C(X)\otimes C(X)$反變誘導。
- Cap積。$H^*(X)\times H_*(X)\to H_*(X)$。由$\operatorname{Hom}(C(X),\mathbb{Z})\otimes C(X)\stackrel{\Delta}\to \operatorname{Hom}(C(X),\mathbb{Z})\otimes C(X)\otimes C(X)\stackrel{eva}\to C(X)$誘導。
這讓上同調$H^*(X)$成為一個環，下同調$H_*(X)$成為一個$H^*(X)$模。他們在連續映射下表現良好，實際上，對於連續映射$f: X\to Y$，這誘導了環同態$f^*:H^*(Y)\to H^*(X)$，且誘導了$H^*(Y)$-模同態$f_*: H_*(X)\to H_*(Y)$，即滿足投射公式
$$f_*(f^*(y)\cap x)=y\cap f_*(x)$$
其中$y\in H^*(Y)$，$x\in H_*(X)$. 具體的討論可見[3](9.7.1), [2], [1].
以代數拓撲觀之
首先，撇去乘積不談。古典的對偶定理來自一個非常經典經典的觀察——對偶多面體（見第一張圖）。如果有這樣一個『多面體分解』，那么對應的『對偶分解』就十分有趣。如果記這個對偶是$D$，那么，例如在二維情況，
- $D(\textrm{頂點})=\textrm{面}$，
- $D(\textrm{楞})=\textrm{楞}$，
- $D(\textrm{面})=\textrm{頂點}$，
- $\textrm{頂點在楞上}\iff D(\textrm{楞})\textrm{在}D(\textrm{頂點})\textrm{上}$，
- $\textrm{楞在面上}\iff D(\textrm{面})\textrm{在}D(\textrm{楞})\textrm{上}$。
以上被帶入$D$的都是多邊形的組成零件。所以計算胞腔同調時邊緣算子完全對偶，所以
$$H^2=H_0, \quad H^1=H_1\quad H^0=H_2. $$
這個觀察自然非常美麗，但是需要我們認真考慮何時這是正確的。
- 首先對於$\mathbb{R}^2$，這就不對，這是因為取對偶時Hom把直和變成了直積。
- 其次對於閉圓盤$\mathbb{D}^2$，這也不對，因為邊緣上無法嚴格對偶。
- 最后對於不可定向，這也不對，因為雖然拓撲意義上的邊緣滿足條件，但是我們不知道一條邊給正號還是負號。
一個事實是，緊致n維流形必可剖分成有限n維多邊形。所以Poincaré對偶定理是這樣表述的
定理（Poincaré對偶）對於$n$維緊致可定向流形$M$，$H^{n-p}(M)\cong H_p(M)$.
實際上，cap積在此時非常具有幾何意義，如果$x\in H^*(M)$，其對偶$D(x)$表成一個單形，$y\in H_*(M)$表成一個單形，那么$x\cap y$正是$D(x)$和$y$相交的部分（見第一張圖），證明見[2] P197 1.9。既然有多邊形分解，那么$M$本身就可以寫成一些單形的和，記作$[M]$，成為正則元，那么這個同構根據幾何意義，就是$ - \cap [M]$。這樣的好處在於這樣我們不必一直忙碌於尋找對偶，因為$\cap$積在連續映射的誘導下表現良好。
以上是最質朴的看法。比較現代的看法是
- 如果我們能局部證明對偶定理，那么把用Mayer–Vietoris序列粘一下，用點代數證明就可以了。不過『局部』是開的，我們需要一些修改。
- 局部能否粘起來，取決於同構的選取。既然我們知道$-\cap [M]$是這樣一個同構，那么問題就是$[M]$能否粘起來。
能否整體粘起來其實就是可定向的表述。在代數拓撲中我們可以選擇在每個點$x\in M$, 制作纖維$H^n(M,M\setminus x; \mathbb{Z})$，得到一個纖維叢$\Theta$. 如果考慮$\{\pm 1\}\subseteq \mathbb{Z}$這相當於把流形的兩面撕開（見第二張圖和第四張圖）。可以證明
$$H_n(M,M\setminus A)\cong \Gamma_c(A,\Theta)$$
其中$A$是閉的，$\Gamma_c$表示緊支撐的截面(sections)組成的集合。具體細節參見[1] P340 第VI章 第7節。
以微分幾何觀之
換微分幾何看。首先是de Rham理論斷言，對於流形$M$，微分形式給出的上同調群（de Rham上同調）和奇異上同調（$\mathbb{R}$系數）是一樣的。且cup積和微分形式的外積相同——這是因為奇異上同調和de Rham上同調的乘積在$H^0$上是一致的。具體見[4] P212的過程和 P214 5.45的表述和前面的評注. 因為現在系數在域上，我們可以直接使用萬有系數定理，得到
$$H^p(M,\mathbb{R})=H_p(M,\mathbb{R})^\vee$$
這里$\{*\}^{\vee}$表示對偶空間。
此時或許Poincaré對偶斷言的同構有另一重看法。首先任何一個流形$M$都可以配一個Riemann度量。我們可以定義一個配對
$$H^p_{\rm de Rham}(M)\times H^{n-p}_{\rm de Rham}(M)\longrightarrow \mathbb{R}\qquad (\omega,\beta)\longmapsto \int_M \omega\wedge \beta. $$
這個和是有限的，如果這個流形$M$是緊致的。利用Hodge理論可以證明這是一個完美配對，從而$H^{n-p}(M)\cong (H^p)^\vee\cong H^p$. 具體細節見[4] P226 定理6.13.
如果我們記Poincaré對偶的映射是$D$，那么我們可以在同調群$H_*$上對偶於cup積定義相交積$\cdot$，其幾何意義是單形的相交。我們直覺上希望對於好的情況，$X\cdot Y=\pm (X\cap Y)$，這里$X\cap Y$是集合論意義下的相交。這在微分幾何中也有對應。對於曲面中的兩條曲線（或者任意維數互補的兩個嵌入自流形），當他們直截時，可以通過行列式定義正負決定我們要正號還是負號計算交點數目（圖3是一些需要考慮的情況）。具體見 [5] P125 第3章 第15節。
以代數幾何觀之
最后我們用代數幾何角度來看待這個問題。我們主要關注$\mathbb{C}$的情況。在代數簇(概形)上使用層的上同調（實際上在微分幾何中我們也用了）是更為『一般』的考慮。有下面幾個基本的定理。
Grothendieck消失定理. 如果$X$是$n$維noether拓撲空間，任意層$\mathscr{F}$，$H^{>n}(X,\mathscr{F})=0$.
定理(Serre). 如果$X$是noether拓撲空間，那么$X$仿射當且僅當$H^{>0}(X,\mathscr{F})=0$對所有擬凝聚層$\mathscr{F}$，當且僅當$H^1(X,\mathscr{F})=0$對所有擬凝聚層$\mathscr{F}$.
一種計算上同調方法是Čech上同調。回顧我們在拓撲中所作的『撕開兩面』的纖維叢的最好替代就是最頂層微分形式叢$\omega_X=\bigwedge^{\operatorname{rank}} \Omega_X$. 由於代數幾何的同調不是由單純對象定義的，所以按『道理』不應該有『乘積』，也沒有『下同調』。所以cap，cup積基本屬於不可能了。但是我們希望能有類比，如果將cap積全部通過Poincaré對偶或者萬有系數對偶過來只剩配對和上同調，再作一些類比$\mathscr{H}om(\mathscr{F},\omega_X)\times \mathscr{F}\to \omega_X$將會給出
$$\operatorname{Ext}^i(\mathscr{F},\omega_X)\times H^{n-i}(X,\omega_X)\to H^n(X,\omega_X)$$
希望這是一個完美配對，我們至少要求$H^n(X,\omega_X)=\mathbb{C}$，結果是
Serre對偶定理. 對於$\mathbb{C}$上的非奇異射影簇$X$，Cohen-Macaulay，等維數$n$，那么對所有凝聚層$\mathscr{F}$，都有
$$\operatorname{\mathscr{F},\omega_X}\cong H^{n-i}(X,\mathscr{F})^\vee. $$
或者寫成
$$H^i(X,\mathscr{F})=H^{n-i}(X,\mathscr{F}^\vee \otimes\omega_X)^\vee. $$
以上內容可見[7]整個第三章。
最后還是提一下相交理論，我們想考慮兩個子簇的相交，這也被視為是代數的乘積理論。
- 我們需要考慮鏈復形中$\ker d$的角色，應該是閉子簇／閉既約子概形。
- 因為代數簇是復的，所以出現的所有『(cycle, 類比於復形$\ker d$的元素)』其實是交換的——因為是復的，沒有定向問題／因為復的，所以只有偶數維，此時分次交換性就是交換性。
- 然后我們需要一些等價關系，這被稱為有理等價，粗略地說和定義同倫的方式類似。
- 建立乘法理論（相交積）。相交理論的大且基礎的定理就是這樣的乘法存在。
這樣可以得到一個環，被稱為周群（或周環）。我感到自己知識匱乏，還是多提一些歷史拋磚引玉——實際上相關的問題由來已久，
- 早在18世紀，就已經有關於相交的Bezout定理；
- 19世紀Schubert做了相當多計算，不過理論基礎值得懷疑；
- 20世紀伊始，這作為Hilbert 15問題被重新提出；
- 20世紀50年代，華裔數學家周煒良為我們搭建了周環的基本理論；
- 20世紀60年代，Grothendieck提出了Motive理論……
可以參見漂亮的教材[8]。
參考文獻
[1] Bredon. Topology and Geometry.
[2] 姜伯駒. 同調論.
[3] Dieck. Algebraic topolog.
[4] Warner. Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups
[5] Dubrovin, Fomenki, and Novikov. Modern Geormetry II. Geometry and Topology of Manifolds
[7] Hartshorne. Algebraic Geometry.
[8] Eisenbud and Harris. 3264 and All That.
后記
這些其實我一直沒有搞得特別清楚，不過感覺畢業論文會大量地使用代數拓撲（或者說胞腔的那套理論），所以最近復習兼預習了一些。最早看得姜伯駒的Poincaré對偶的介紹，現在看感覺似乎太組合了……之后有機會我會再總結一篇示性類，這個目前我還蒙在鼓里。另外Bredon真的是好書——告訴你所有值得被知道的東西。
最近認識了一些興趣相投的朋友，感覺開心。(´▽`ʃ♡ƪ)
