大津法實現圖像二值化

算法步驟

 

　　1、生成灰度直方圖，並進行歸一化，得到比例直方圖。

　　2、根據比例直方圖計算整幅圖像的平均灰度$\mu_0$。

　　3、從灰度0迭代到灰度255，每次迭代計算背景（這里將小於當前迭代灰度的部分視為背景）占整幅圖像的比例$\omega_1$；計算背景的平均灰度$\mu_1$；計算前景和背景的類間方差$\sigma^2 = \frac{\omega_1} { (1 - \omega_1)} · (\mu_1 - \mu_0)^2 $。

　　4、將最大類間方差對應的灰度設置為閾值，並進行二值化。

　　

 

 算法原理

 　　

　　為了表述的方便，這里先定義一些符號：

	像素數占總圖像的比例	平均灰度	類間方差
背景	$\omega_1$	$\mu_1$
前景	$\omega_2$	$\mu_2$
圖像	$\omega_0$	$\mu_0$	$\sigma^2 $

 

　　類間方差指的是前景和背景之間的差異，顯然該差異越大，說明分離度越好。數學上，類間方差的計算方法是：

$\sigma^2 = \omega_1 · (\mu_1 - \mu_0)^2 + \omega_2 · (\mu_2 - \mu_0)^2$（式2-1）

　　但直接采用該公式進行編程，不免有些繁雜，因此需要先進行一定的化簡。將（式2-1）展開得：

$\sigma^2 = \omega_1 · \mu_1^2 + \omega_2 · \mu_2^2 - 2( \omega_1 · \mu_1 + \omega_2 · \mu_2)· \mu_0 + \mu_0^2 $（式2-2）

　　根據期望的數學定義式$E(X)=\sum_{k=1 }^{\infty}x_k·p_k$我們可以推知：

$\mu_0 = \omega_1 · \mu_1 + \omega_2 · \mu_2 $（式2-3）

　　將（式2-3）代入到（式2-2）中，則$\sigma^2 = \omega_1 · \mu_1^2 + \omega_2 · \mu_2^2 - \mu_0^2 $。然后我們希望可以把前景的成分消除掉，因此再次利用（式2-3）和$\omega_2 = 1 - \omega_1$的關系進行替換：

　　　　　　　　$\sigma^2 = \omega_1 · \mu_1^2 + \frac{\omega_2^2 · \mu_2^2}{1 - \omega_1} - \mu_0^2  = \omega_1 · \mu_1^2 + \frac{(\mu_0 -  \omega_1 · \mu_1)^2}{1 - \omega_1} - \mu_0^2  = \frac{\omega_1} { (1 - \omega_1)} · (\mu_1 - \mu_0)^2$（式2-4）

 　　使用（式2-4），我們就只需要統計當前迭代灰度以前的像素即可，這大大提升了程序的效率。此外，類間方差的最大點往往處於直方圖的低谷處（如下圖所示，紅色點代表方差值），因此可以比較好地自動進行前景和背景分離。

　　

 

 算法復現

　復現需要注意的一點是背景平均灰度的計算，用公式可以表示為：

　　$\mu_1 = \frac{ \sum_{i=0}^{T} i · p_i}{ \sum_{i=0}^{T} p_i}$

　其中$i$表示迭代灰度，$p_i$表示$i$灰度級的比例，$T$為當前迭代灰度值。

unsigned char Ostu(int size,unsigned char *image)
{
    int i;
    unsigned char threshold=0;                        //閾值
    float variance=0;                                 //類間方差
    float maxvariance=0;                              //最大方差
    float k=0;                                    
    float w1=0;                                       //背景像素比例
    float u1=0;                                       //背景平均灰度
    float u0=0;                                       //圖像的平均灰度
    float histogram[256]={0};                         //直方圖

    for (i=0;i<size;i++){
        histogram[*(image+i)]++;                      //像素直方圖
    }

    for (i=0;i<256;i++){
        histogram[i]/=size;                           //比例直方圖
        u0+=histogram[i]*i;                           //計算圖像平均灰度
    }

    for (i=0;i<256;i++){
        w1+=histogram[i];                             //背景比例
        k+=i*histogram[i];                        
        u1=k/w1;                                    　//背景平均灰度
        variance=w1/(1-w1)*(u1-u0)*(u1-u0);           //求方差
        if (variance>maxvariance){
            maxvariance=variance; 
            threshold=i;                              //將最大g相應的i值作為圖像的全局閾值
        }        
    }

    return threshold;
}