差分約束系統

 

一、算法簡介

　　差分約束系統是一種特殊的N元一次不等式組，它包含N個變量，X1~Xn以及m個約束條件，每一個約束條件都是由兩個變量作差構成的，形如Xi-Xj≤Ck，其中Ck是常數，1≤i,j≤N，1≤k≤M，解決的問題是求一組解，X1=a1，X2=a2~~~Xn=an,使得所有的約束條件都得到滿足。

　　差分約束系統的每一個約束條件Xi-Xj≤Ck可以變形為最短路中的三角不等式，Xi≤Xj+Ck,因此，可以把每一個變量Xi看作有向圖中的一個結點i，對於每一個約束條件Xi-Xj≤Ck，為從結點j想結點i連一條長度為Ck的有向邊

二、例題

　　UVA1723 Intervals

　　此題是差分約束的裸題，但我之前也不知道差分約束系統是什么。

　　定義：差分約束系統是一種特殊的N元一次不等式，包含N個變量及M個約束條件，每個約束條件由兩個變量作差構成，形如Xi-Xj>=Ck，Ck是常數，1<=i,j<=N,1<=k<=M。如

　　X1-X0>=2 　　X2-X1>=3 　　X3-X2>=2 　　X3-X0>=6

　　通過消元可得到X3-X0的最小值為7。假若我們從0->1建一條權值為2的邊，從1->2建一條權值為3的邊，以此類推。從0到3跑一遍SPFA求最長路，發現也為7。

　　這不是個巧合，因為求最長路時，SPFA的松弛操作后，dis[v]>=dis[u]+g[i].w，與不等式Xi>=Xj+Ck性質一樣，所以SPFA可以求出最小值，又因為不等式同大取大，所以要求出最長路。所以SPFA死了嗎？

　　最后，一定要注意輸出，每個答案空一行，最后一個答案最后要輸出換行。

　　本題就是從0-50000選出最少的數，使每個區間至少有c個數被選，這是求最小值，所以我們待會要將所有的不等式轉換成">="的形式 我們用數組d[i]表示0-i之間至少要選多少個數，所以對於每一個約束條件，可以看成d[b_i]-d[a_i-1]>=c_id[bi​]−d[ai​−1]>=ci​

　　d[bi​]>=ci​+d[ai​−1]

　　因此我們在a[i-1]和b[i]之間建一條長度為c[i]的邊

　　上述建邊過程只是題干中給出的條件，我們還要找出題目中的隱藏條件（隱藏條件視題目而為，有則加）。

　　因為d[i]表示的是0-i之間要選的最小個數，所以d[i]一定要大於d[i-1]；又因為每個數只能選一次，所以d[i]-d[i-1]要么為0，要么為1；

　　由上述兩個條件，我們對應出兩個不等式d_i-d_{i-1}>=0di​−di−1​>=0d_{i-1}-d_{i}>=-1di−1​−di​>=−1

　　所以我們在i-1和i之間連長度為0的有向邊，在i和i-1之間連長度為-1的有向邊

　　因為i的范圍是0-50000所以i-1會變成負數，我們都知道，若數組的下標為負，程序會運行錯誤，所以我們不妨給所有的變量加1，這樣就不會出現負下標了，所以上述加邊過程可簡述為

　　　　1---->在a[i]和b[i]+1之間連一條長度為c[i]的有向邊 　　　　2---->在i和i+1之間連一條長度為0的有向邊 　　　　3---->在i+1和i之間連一條長度為-1的有向邊

　　接着，設d[0]為1,以0為起點求單元最長路

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<queue>
#define inf 0x3f3f3f3f
using namespace std;
int t,n,head[500005],tot,ma,dis[500005];
bool vis[500005];
struct node{
    int u,v,next,w;
}g[5000005];
inline int rea(){//快讀
    int s=0,g=1;
    char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){
        if(ch=='-')
            g=-1;
        ch=getchar();
    }
    while(ch>='0'&&ch<='9'){
        s=(s<<3)+(s<<1)+(ch^48);
        ch=getchar();
    }
    return s*g;
}
inline void add(int u,int v,int w){//建圖
    g[++tot].u=u;
    g[tot].v=v;
    g[tot].w=w;
    g[tot].next=head[u];
    head[u]=tot;
}
inline void spfa(){//SPFA求最長路，即可得出最小值
    queue<int>q;
    q.push(0);
    vis[0]=true;
    dis[0]=0;
    while(!q.empty()){
        int u=q.front();
        q.pop();
        vis[u]=false;
        for(int i=head[u];i;i=g[i].next){
            int v=g[i].v;
            if(dis[v]<dis[u]+g[i].w){
                dis[v]=dis[u]+g[i].w;
                if(!vis[v]){
                    vis[v]=true;
                    q.push(v);
                }
            }
        }
    }
}
int main(){
    t=rea();
    while(t--){
        memset(head,0,sizeof(head));
        memset(dis,-0x3f,sizeof(dis));
        tot=0;
        n=rea();
        for(int i=1;i<=n;i=-~i){
            int a=rea(),b=rea(),c=rea();
            add(a,b+1,c);//因為前綴和中，Sb-S(a-1)>=c，然而a-1要大於等於0，a有可能是0，所以我們加一
            ma=max(ma,b+1);
        }
        for(int i=1;i<=ma;i=-~i){
            add(i-1,i,0);
            add(i,i-1,-1);//Si-S(i-1)>=0,S(i-1)-Si>=-1
        }
        spfa();
        printf("%d\n",dis[ma]);
        if(t)
            printf("\n");//注意輸出！！！
    }
    return 0;
}

 

三、相關文章鏈接

　　https://blog.csdn.net/dragon60066/article/details/80245797