差分約束系統

差分約束系統只是對最短路算法的一種應用，沒有什么新的算法，只是對於具體問題的建圖方法的確定

差分約束系統解決的問題是不等式組的求解：

X1 - X2 <= 0
X1 - X5 <= -1
X2 - X5 <= 1
X3 - X1 <= 5
X4 - X1 <= 4
X4 - X3 <= -1
X5 - X3 <= -3
X5 - X4 <= -3

這就是一個不等式組，給出的不等式組只存在小於等於號，如果有個別的式子是大於等於，我們可以通過兩邊同時乘-1的得到統一的不等號方向的不等式組。

這個不等式組一定是無解和無數解兩種情況，因為如果是存在任意一組解，{x1,x2,x3,x4,x5},我們都可以通過{x1+k,x2+k,x3+k,x4+k,x5+k}得到一個新的解。所以解的個數是無數的。

因為每個數都加k，他們任意兩個數之間的差是不變的，所以對於不等式沒有影響。

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與最短路聯系

B - A <= c     (1)

 

C - B <= a     (2)

 

C - A <= b     (3)

 

 如果要求C-A的最大值，可以知道max（C-A）= min(b,a+c),而這正對應了下圖中C到A的最短路。 

 

 

差分約束建圖技巧

1.對於一個全部都是<=號的不等式組，我們可以將每個式子轉化為Xi<=Xj+W(i,j),那么就建一條邊，Xj->Xi=W(i,j),然后利用最短路徑解決問題，在x0定死的情況下，求得最小值

 

2.對於一個全部都是>=號的不等式組，我們可以將每個式子轉化為Xi>=Xj+W(i,j),那么就建一條邊，Xj->Xi=W(i,j),然后利用最長路徑解決問題，在x0定死的情況下，求得最大值

 

如果dis[Xi]為inf或-inf,那么Xi為任意解

 

如果求最短路的過程中出現負環，那么說明該不等式組無解

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來看看一道例題

 

【代碼實現】

 

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include<queue>
#include<cstring>
using namespace std;
const int maxn=1e5+5;
const int INF=1e9+7;
struct sd{
    int to,ww,next;
}edge[maxn<<1];
queue<int> que;
int dis[maxn],num[maxn],head[maxn],n,m,cnt;
bool vis[maxn];
void add_edge(int a,int b,int ww)
{
    edge[++cnt].next=head[a];
    edge[cnt].to=b;
    edge[cnt].ww=ww;
    head[a]=cnt;
}
bool spfa()
{
    for(int i=1;i<=n;i++)
    dis[i]=1,vis[i]=1,que.push(i);
    while(!que.empty())
    {
        int v=que.front();que.pop();vis[v]=0;
        for(int i=head[v];i;i=edge[i].next)
        {
            int to=edge[i].to;
            if(dis[to]<dis[v]+edge[i].ww)
            {
                dis[to]=dis[v]+edge[i].ww;
                if(!vis[to]) 
                {
                    if(++num[to]>n) return false;
                    vis[to]=1,que.push(to);
                }
            }
        }
    }
    return true;
}
int main()
{
    int ord,a,b;
    long long ans=0;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        scanf("%d%d%d",&ord,&a,&b);
        if(ord==1) add_edge(a,b,0),add_edge(b,a,0);
        if(ord==2) {if(a==b){printf("-1");return 0;}add_edge(a,b,1);}
        if(ord==3) add_edge(b,a,0);
        if(ord==4) {if(a==b){printf("-1");return 0;}add_edge(b,a,1);}
        if(ord==5) add_edge(a,b,0);
    }
    if(!spfa()) {printf("-1");return 0;}
    for(int i=1;i<=n;i++) ans+=dis[i];
    printf("%lld",ans);
    return 0;
}