差分約束算法總結

來自 https://blog.csdn.net/my_sunshine26/article/details/72849441

 

差分約束系統

一、概念

 

                  如果一個系統由n個變量和m個約束條件組成，形成m個形如ai-aj≤k的不等式(i,j∈[1,n],k為常數),則稱其為差分約束系統。

 

二、引例

 

給定n個變量和m個不等式，每個不等式的形式為 x[i] - x[j] <= a[k] (0 <= i, j < n, 0 <= k < m， a[k]已知)，求 x[i] - x[j] 的最大值。

例如當n = 4，m = 5，給出如下圖所示的不等式組，求x3 - x0的最大值。

                                              

一般思路：我們可以嘗試把幾個不等式組合得到最后我們要求的式子，於是這些式子里最小的那個就是答案。

比如，在這個例子中：

（3） ==》  x3 - x0<=4；

（1）、（4）、（5） ==》 x3 - x0<=5；

（2）、（5） ==》 x3 - x0<=3;

所以最后結果就是3.

在這個過程中，我們是否想到這種方法與我們已經學的一種算法有所聯系，是的，就是最短路算法。

 

三、差分約束與最短路模型

 

1、與最短路模型的聯系

 

先給出結論：求解差分約束系統，都可以轉化成圖論的單源最短路徑（或最長路徑）問題。

我們觀察上面例子中的不等式，都是x[i] - x[j] <= a[k]，可以進行移項，成為x[i] <= x[j] + a[k]，我們令a[k] = w(j, i)，dis[i]=x[i],並使i=v,j=u,那么原始就變為：dis[u]+w(u,v)>=dis[v],於是可以聯想到最短路模型中的一部分代碼

1.  
   if(dis[u]+w(u,v)<=dis[v])
2.  
   {
3.  
   dis[v]=dis[u]+w(u,v);
4.  
   }

這不正與松弛操作相似嗎？

但是好像不等號方向剛好相反，但其實這並不矛盾

上面的代碼要實現的是使dis[u]+w(u,v)>dis[v],而對於不等式，我們進行建邊的操作：對於每個不等式 x[i] - x[j] <= a[k]，對結點 j 和 i 建立一條 j -> i的有向邊，邊權為a[k]，求x[n-1] - x[0] 的最大值就是求 0 到n-1的最短路，兩者剛好吻合。所以求解差分約束問題就轉化為了最短路問題。

 

2.問題解的存在性

 

    由於在求解最短路時會出現存在負環或者終點根本不可達的情況，在求解差分約束問題時同樣存在

 

    （1）、存在負環

 

如果路徑中出現負環，就表示最短路可以無限小，即不存在最短路，那么在不等式上的表現即X[n-1] - X[0] <= T中的T無限小，得出的結論就是 X[n-1] - X[0]的最大值不存在。在SPFA實現過程中體現為某一點的入隊次數大於節點數。（貌似可以用sqrt(num_node)來代替減少運行時間）

     （2）、終點不可達

這種情況表明X[n-1]和X[0]之間沒有約束關系，X[n-1] - X[0]的最大值無限大，即X[n-1]和X[0]的取值有無限多種。在代碼實現過程中體現為dis[n-1]=INF。

 

3、不等式組的轉化

 

做題時可能會遇到不等式中的符號不相同的情況，但我們可以對它們進行適當的轉化

（1）方程給出：X[n-1]-X[0]>=T ,可以進行移項轉化為： X[0]-X[n-1]<=-T。

（2）方程給出：X[n-1]-X[0]<T, 可以轉化為X[n-1]-X[0]<=T-1。

（3）方程給出：X[n-1]-X[0]=T，可以轉化為X[n-1]-X[0]<=T&&X[n-1]-X[0]>=T，再利用（1）進行轉化即可

 

4、應用

 

對於不同的題目，給出的條件都不一樣，我們首先需要關注問題是什么，如果需要求的是兩個變量差的最大值，那么需要將所有不等式轉變成"<="的形式，建圖后求最短路；相反，如果需要求的是兩個變量差的最小值，那么需要將所有不等式轉化成">="，建圖后求最長路。

 

5、相關題目鏈接

 

（1）、POJ 1716 Integer Intervals 

（2）、HDOJ 3666 THE MATRIX PROBLEM  

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