差分約束系統有兩種方式可以求解，最短路和最長路。當我們把不等式整理成d[a]+w<=d[b]時，我們求最長路。整理成d[a]+w>=d[b]時，我們求最短路。當求最短路時，我們通常要把各點距離初始化為正無窮，求最短路，把各點距離逐漸減小，直到符合所有不等式。也就是開始 各點不符合條件，后來通過減小變得符合了，所以一定是符合條件的最大值。既然是求最大值，並且是減小各點距離，也就是把各點由數軸的右側向左側拉，所以我 們一定要選擇一個最終在數軸最左側的點，並初始化為0，把所有正無窮的點拉近到符合不等式。最長路同理。
最短路求得是最大值，最長路求得是最小值。
（本文假設讀者已經有以下知識：最短路徑的基本性質、Bellman-Ford算法。）
比如有這樣一組不等式：
| X1 - X2 <= 0 X1 - X5 <= -1 X2 - X5 <= 1 X3 - X1 <= 5 X4 - X1 <= 4 X4 - X3 <= -1 X5 - X3 <= -3 X5 - X4 <= -3 |
不等式組(1)
全都是 兩個未知數的差 小於等於某個常數（大於等於也可以，因為左右乘以-1就可以化成小於等於）。這樣的不等式組就稱作差分約束系統。
這個不等式組要么無解，要么就有無數組解。因為如果有一組解{X1, X2, ..., Xn}的話，那么對於任何一個常數k，{X1 + k, X2 + k, ..., Xn + k}肯定也是一組解，因為任何兩個數同時加一個數之后，它們的差是不變的，那么這個差分約束系統中的所有不等式都不會被破壞。
差分約束系統的解法利用到了單源最短路徑問題中的三角形不等式。即對於任何一條邊u -> v，都有：
| d(v) <= d(u) + w(u, v) |
其中d(u)和d(v)是從源點分別到點u和點v的最短路徑的權值，w(u, v)是邊u -> v的權值。
顯然以上不等式就是d(v) - d(u) <= w(u, v)。這個形式正好和差分約束系統中的不等式形式相同。於是我們就可以把一個差分約束系統轉化成一張圖，每個未知數Xi對應圖中的一個頂點Vi，把所有不等式都化成圖中的一條邊。對於不等式Xi - Xj <= c，把它化成三角形不等式：Xi <= Xj + c，就可以化成邊Vj -> Vi，權值為c。最后，我們在這張圖上求一次單源最短路徑，這些三角形不等式就會全部都滿足了，因為它是最短路徑問題的基本性質嘛。
話說回來，所謂單源最短路徑，當然要有一個源點，然后再求這個源點到其他所有點的最短路徑。那么源點在哪呢？我們不妨自已造一個。以上面的不等式組為例，我們就再新加一個未知數X0。然后對原來的每個未知數都對X0隨便加一個不等式（這個不等式當然也要和其它不等式形式相同，即兩個未知數的差小於等於某個常數）。我們索性就全都寫成Xn - X0 <= 0，於是這個差分約束系統中就多出了下列不等式：
| X1 - X0 <= 0 X2 - X0 <= 0 X3 - X0 <= 0 X4 - X0 <= 0 X5 - X0 <= 0 |
不等式組(2)
對於這5個不等式，也在圖中建出相應的邊。最后形成的圖如下：
圖1
也有可能出現無解的情況，也就是從源點到某一個頂點不存在最短路徑。也說是圖中存在負權的圈。這一點我就不展開了，請自已參看最短路徑問題的一些基本定理。
其實，對於圖1來說，它代表的一組解其實是{0, -5, -3, 0, -1, -4}，也就是說X0的值也在這組解當中。但是X0的值是無可爭議的，既然是以它作為源點求的最短路徑，那么源點到它的最短路徑長度當然是0了。因此，實際上我們解的這個差分約束系統無形中又存在一個條件：
| X0 = 0 |
也就是說在不等式組(1)、(2)組成的差分約束系統的前提下，再把其中的一個未知數的值定死。這樣的情況在實際問題中是很常見的。比如一個問題表面上給出了一些不等式，但還隱藏着一些不等式，比如所有未知數都大於等於0或者都不能超過某個上限之類的。比如上面的不等式組(2)就規定了所有未知數都小於等於0。
對於這種有一個未知數定死的差分約束系統，還有一個有趣的性質，那就是通過最短路徑算法求出來的一組解當中，所有未知數都達到最大值。下面我來粗略地證明一下，這個證明過程要結合Bellman-Ford算法的過程來說明。
假設X0是定死的；X1到Xn在滿足所有約束的情況下可以取到的最大值分別為M1、M2、……、Mn（當然我們不知道它們的值是多少）；解出的源點到每個點的最短路徑長度為D1、D2、……、Dn。
基本的Bellman-Ford算法是一開始初始化D1到Dn都是無窮大。然后檢查所有的邊對應的三角形不等式，一但發現有不滿足三角形不等式的情況，則更新對應的D值。最后求出來的D1到Dn就是源點到每個點的最短路徑長度。
如果我們一開始初始化D1、D2、……、Dn的值分別為M1、M2、……、Mn，則由於它們全都滿足三角形不等式（我們剛才已經假設M1到Mn是一組合法的解），則Bellman-Ford算法不會再更新任合D值，則最后得出的解就是M1、M2、……、Mn。
好了，現在知道了，初始值無窮大時，算出來的是D1、D2、……、Dn；初始值比較小的時候算出來的則是M1、M2、……、Mn。大家用的是同樣的算法，同樣的計算過程，總不可能初始值大的算出來的結果反而小吧。所以D1、D2、……、Dn就是M1、M2、……、Mn。
那么如果在一個未知數定死的情況下，要求其它所有未知數的最小值怎么辦？只要反過來求最長路徑就可以了。最長路徑中的三角不等式與最短路徑中相反：
| d(v) >= d(u) + w(u, v) 也就是 d(v) - d(u) >= w(u, v) |
所以建圖的時候要先把所有不等式化成大於等於號的。其它各種過程，包括證明為什么解出的是最小值的證法，都完全類似。
用到差分約束系統的題目有 ZJU 2770，祝好運。
一直不知道差分約束是什么類型題目，最近在寫最短路問題就順帶看了下，原來就是給出一些形如x-y<=b不等式的約束，問你是否滿足有解的問題
好神奇的是這類問題竟然可以轉換成圖論里的最短路徑問題，下面開始詳細介紹下
比如給出三個不等式,b-a<=k1,c-b<=k2,c-a<=k3,求出c-a的最大值,我們可以把a,b,c轉換成三個點，k1，k2，k3是邊上的權，如圖
由題我們可以得知，這個有向圖中，由題b-a<=k1,c-b<=k2,得出c-a<=k1+k2,因此比較k1+k2和k3的大小，求出最小的就是c-a的最大值了
根據以上的解法，我們可能會猜到求解過程實際就是求從a到c的最短路徑，沒錯的....簡單的說就是從a到c沿着某條路徑后把所有權值和k求出就是c -a<=k的一個
推廣的不等式約束，既然這樣，滿足題目的肯定是最小的k，也就是從a到c最短距離...
理解了這里之后，想做題還是比較有困難的，因為題目需要變形一下，不能單純的算..
首先以poj3159為例,這個比較簡單，就是給出兩個點的最大差，然后讓你求1到n的最大差，直接建圖后用bellman或者spfa就可以過了
稍微難點的就是poj1364，因為他給出的不等式不是x-y<=k形式，有時候是大於號，這樣需要我們去變形一下，並且給出的還是>,<沒有等於，都要變形
再有就是poj1201，他要求出的是最長距離，那就要把形式變換成x-y>=k的標准形式
注意點:
1. 如果要求最大值想辦法把每個不等式變為標准x-y<=k的形式,然后建立一條從y到x權值為k的邊,變得時候注意x-y<k =>x-y<=k-1
如果要求最小值的話,變為x-y>=k的標准形式，然后建立一條從y到x的k邊，求出最長路徑即可
2.如果權值為正，用dj，spfa，bellman都可以，如果為負不能用dj，並且需要判斷是否有負環，有的話就不存在