POJ1201Intervals(差分約束系統)

    昨天看了下差分約數系統的含義，其實就是如果有n個變量在m個形如aj-ai>=bk條件下，求解的此不等式的方法。

   而這種不等式的解法其實就是轉化為圖論的最小路的算法求解的。我們將上面的不等式邊形后得到aj>=ai+bk正好就可以看做是從ai到aj權值是bk的一條路徑最短的邊。這樣一來，只要依照題目的條件寫出一系列這樣的不等式，也就是相當於按照題意增加了一些合法的邊，也就完全轉化為了最短路的算法。

   再看這道題，題目說[ai, bi]區間內和點集Z至少有ci個共同元素，那也就是說如果我用Si表示區間[0,i]區間內至少有多少個元素的話，那么Sbi - Sai >= ci,這樣我們就構造出來了一系列邊，權值為ci，但是這遠遠不夠，因為有很多點依然沒有相連接起來（也就是從起點可能根本就還沒有到終點的路線）,此時，我們再看看Si的定義，也不難寫出0<=Si - Si-1<=1的限制條件，雖然看上去是沒有什么意義的條件，但是如果你也把它構造出一系列的邊的話，這樣從起點到終點的最短路也就順理成章的出現了。

我們將上面的限制條件寫為同意的形式：

Sbi - Sai >= ci

Si - Si-1 >= 0

Si-1 - Si >= -1

這樣一來就構造出了三種權值的邊，而最短路自然也就沒問題了。

但要注意的是，由於查分約束系統里常常會有負權邊，所以為了避免負權回路，往往用Bellman-Ford或是SPFA求解（存在負權回路則最短路不存在）。

#include <map>
#include <set>
#include <stack>
#include <queue>
#include <cmath>
#include <ctime>
#include <vector>
#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define eps 1e-15
#define MAXN  50005
#define INF 1000000007
#define MAX(a,b) (a > b ? a : b)
#define MIN(a,b) (a < b ? a : b)
#define mem(a) memset(a,0,sizeof(a))

struct EDGE//使用鄰接表存邊
{
    int v;
    int w;
    int next;
}edge[3*MAXN];
int head[MAXN], d[MAXN], vis[MAXN],N, n, Max,Min;

void AddEdge(int u,int v,int w)//添加新邊
{
    edge[N].v = v;
    edge[N].w = w;
    edge[N].next = head[u];
    head[u] = N++;
}

void SPFA()//此題數據較大，用Bellman-ford恐怕過不了
{
    for(int i=Min;i<=Max;i++) d[i] = -INF;
    d[Min] = 0;
    queue<int>q;
    q.push(Min);
    while(!q.empty())
    {
        int x = q.front(); q.pop();
        vis[x] = 0;
        for(int e=head[x];e != -1;e=edge[e].next)if(d[edge[e].v] < d[x] + edge[e].w)
        {
            d[edge[e].v] = d[x] +edge[e].w;
            if(!vis[edge[e].v])
            {
                q.push(edge[e].v);
                vis[edge[e].v] = 1;
            }
        }
    }//由於題目說一定有解，我就略去了判斷是否存在負權回路
}

int main()
{
    while(~scanf("%d", &n))
    {
        int u,v,w; N = 0;
        memset(head,-1,sizeof(head));
        mem(vis);  mem(edge);
        Min = INF;  Max = -INF;
        for(int i=0;i<n;i++)
        {
            scanf("%d%d%d", &u,&v,&w);//題目條件的邊
            AddEdge(u,v+1,w);
            Min = MIN(Min, u);//在這里記錄最小值和最大值，所求的就是以Min為源點
            Max = MAX(Max, v+1);//以Max為終點的最短路
        }
        for(int i = Min;i < Max; i++)//添加新邊
        {
            AddEdge(i,i+1,0);
            AddEdge(i+1,i,-1);
        }
        SPFA();
        printf("%d\n", d[Max]);
    }
    return 0;
}