導圖
前綴和
前綴和常用於快速地求解區間范圍內的元素總和。
一維前綴和
設元素存儲在a[N]中，我們設計一個數組s[N]，s[i]對應第一個元素到第i個元素的總和，即\(s[i]=a[1]+a[2]+...+a[i]\)。
一維前綴和的維護公式為：\(s[i]=s[i-1]+a[i]\)。
若我們想快速求出區間\([L,R]\)范圍內的元素總和。
我們可以利用前綴和快速求解：\(sum_{[L,R]}=s[R]-s[L-1]\)。
可通過圖片加深理解。
二維前綴和
設元素存儲在a[N][N]中，我們設計一個數組s[N][N]，用來存儲a[1][1]開始的矩陣總和。
s[i][j]的含義可看下圖。a[N][N]為無色部分，s[N][N]為深色部分。
那么如何維護二維的前綴和數組呢？可觀察下圖：
可發現s[i][j]的面積由橙色區域s[i-1][j]與藍色區域s[i][j-1]組成后，再去掉重疊部分紫色區域s[i-1][j-1]后加上本身位置的內容a[i][j]得到。
故得到公式：\(s[i][j]=s[i-1][j]+s[i][j-1]-s[i-1][j-1]+a[i][j]\)。
若我們想快速的求出某個子矩陣的元素和，可進行如下處理。
我們設子矩陣左上位置為(xa,ya)，右下位置為(xb,yb)。從而確定子矩陣的形狀。
觀察下圖，可以發現，子矩陣的總和可由紅色區域s[xb][yb]去掉藍色區域s[xb][ya-1]和橙色區域s[xa-1][yb]后，再加上重復減的紫色區域s[xa-1][ya-1]后得到。即，公式為：\(sum_{子矩陣}=s[xb][yb]-s[xb][ya-1]-s[xa-1][yb]+s[xa-1][ya-1]\)。
差分
差分常用於對連續的某個區域快速進行增加和減少的值的操作。
一維差分
設元素存儲在a[N]中，我們設計一個差分數組b[N]，b[i]對應a[i]與a[i-1]的差值,即\(b[i]=a[i]-a[i-1]\)。
若我們對差分數組b進行前綴和處理，可發現存在逆元特性，前綴和的內容等於原數組a的內容。
s[1]=b[1]=a[1]
s[2]=s[1]+b[2]=a[1]+a[2]-a[1]=a[2]
s[3]=s[2]+b[3]=a[2]+a[3]-a[2]=a[3]
...
s[i]=s[i-1]+b[i]=a[i-1]+a[i]-ba[i-1]=a[i]
若我們對b[i]的對加上x。
再進行前綴和處理。
可發現，相當於從i到最后的n，對所有的原數組內容加上了x。
故，若想對\([L,R]\)的范圍的值都加上x。可通過三步實現。
b[L]+=xb[R+1]-=x- 前綴和處理查分數組b
二維差分
設元素存儲在a[N][N]中，我們設計一個差分數組b[N][N]，用來存儲a數組中相鄰元素的差值。
二維差分維護公式為：\(b[i][j]=a[i][j]-a[i][j-1]-(a[i-1][j]-a[i-1][j-1])=a[i][j]-a[i][j-1]-a[i-1][j]+a[i-1][j-1]\)。
若我們對差分數組b進行前綴和處理，存在逆元特點，前綴和結果為原數組a中的內容。
若我們對差分數組b[xa][yb]+=x，再對差分數組求前綴和。可發現，(xa,ya)到(n,n)的原數組內容都加上了x。
若我們想快速地對某個子矩陣區域的元素和加減值。
我們設子矩陣左上位置為(xa,ya)，右下位置為(xb,yb)。從而確定子矩陣的形狀。
觀察下圖
可發現若想對子矩陣區域加上x，可先將紅色區域b[xa][ya]加上x，在將橙色區域b[xa][yb+1]與藍色區域b[xb+1][ya]減去x進行抵消，再將重復減去的紫色區域b[xb+1][yb+1]的內容加上來。
b[xa][ya]+=xb[xa][yb+1]-=xb[xb+1][ya]-=xb[xb+1][yb+1]+=x
之后再對差分數組進行前綴和處理即可。
習題強化
#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;
int n;
int a[200005];
int dp[200005];
/*
a[i]
dp[i]=max(dp[i-1]+a[i],a[i])
*/
int maxs=-2e9;
int main(){
cin>>n;
for(int i=1;i<=n;i++){
cin>>a[i];
dp[i]=max(dp[i-1]+a[i],a[i]);
maxs=max(dp[i],maxs);
}
cout<<maxs;
return 0;
}
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N=125;
int n;
int a[N][N],s[N][N];
int subSum(int xa,int ya,int xb,int yb){
return s[xb][yb]-s[xa-1][yb]-s[xb][ya-1]+s[xa-1][ya-1];
}
int main(){
cin>>n;
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=1;j<=n;j++){
cin>>a[i][j];
s[i][j]=s[i-1][j]+s[i][j-1]-s[i-1][j-1]+a[i][j];
}
}
int ans=-80000;
for(int xa=1;xa<=n;xa++){
for(int ya=1;ya<=n;ya++){
for(int xb=xa;xb<=n;xb++){
for(int yb=ya;yb<=n;yb++){
int sum=subSum(xa,ya,xb,yb);
ans=max(ans,sum);
}
}
}
}
cout<<ans;
return 0;
}
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;
int n,p;
int a[5000005];
int b[5000005];
int main(){
int x,y,z;
cin>>n>>p;
for(int i=1;i<=n;i++){
cin>>a[i];
b[i]=a[i]-a[i-1];
}
while(p--){
cin>>x>>y>>z;
b[x]+=z;
b[y+1]-=z;
}
memset(a,0,sizeof(a));
int mins=105;
for(int i=1;i<=n;i++){
a[i]=a[i-1]+b[i];
mins=min(mins,a[i]);
}
cout<<mins;
return 0;
}
#include <iostream>
using namespace std;
const int N=1e3+5;
int a[N][N];
int s[N][N];
int n,m;
int main(){
int xa,ya,xb,yb;
cin>>n>>m;
for(int i=1;i<=m;i++){
cin>>xa>>ya>>xb>>yb;
a[xa][ya]++;
a[xa][yb+1]--;
a[xb+1][ya]--;
a[xb+1][yb+1]++;
}
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=1;j<=n;j++){
s[i][j]=s[i-1][j]+s[i][j-1]-s[i-1][j-1]+a[i][j];
cout<<s[i][j]<<" ";
}
cout<<endl;
}
return 0;
}