一、基本概念
前綴和指一個數組的某下標之前的所有數組元素的和（包含其自身），前綴和是一種重要的預處理，能夠降低算法的時間復雜度。
preSum是前綴和數組, nums是內容數組。
擁有前綴和數組后, 我們可以在O(1)的時間復雜度內求出區間和。
使用場景：
前綴和計算通常作為某種計算的預處理過程，作數據記憶以減少計算，時間復雜度為O(n)。預處理后各點的前綴和保存下來（數組或hash表），供后續計算時查詢，例如從i到j的子數組的和為 S[j]−S[i−1]，即兩點前綴和之差，時間復雜度為O(1)。
1.一維前綴和
涉及連續子數組求和時，通常使用“前綴和”來解決。最簡單的一維前綴和如下：
前綴和為從第0項到第i項的和，即S[i]=A[0]+A[1]+…+A[i]，計算時基於前值S[i]= S[i-1] +A[i]
某項值可以表示為相鄰前綴和之差：A[i]=S[i]−S[i−1]
從i到j的子數組的和：A[i]+…+A[j]=S[j]−S[i−1]
2.二維前綴和
二維矩陣（或二維數組）及前綴和示例如下
二維前綴和 S[i][j] = S[i-1][j] + S[i][j-1] – S[i-1][j-1] + A[i][j]
子矩陣(r1, c1)到(r2, c2)的和為：S[r2][c2] – S[r1-1][c2] – S[r2][c1-1] + S[r1-1][c1-1]
3.樹上前綴和
樹上前綴和通常分為兩種：
從根到某節點的路徑上點（或邊）的值之和，如下圖所示：
某節點及其所有子節點（或邊）的值之和，如下下圖：
點擊查看代碼
class NumArray {
// 前綴和數組
private int[] preSum;
/* 輸入一個數組，構造前綴和 */
public NumArray(int[] nums) {
// preSum[0] = 0，便於計算累加和
preSum = new int[nums.length + 1];
// 計算 nums 的累加和
for (int i = 1; i < preSum.length; i++) {
preSum[i] = preSum[i - 1] + nums[i - 1];
}
}
/* 查詢閉區間 [left, right] 的累加和 */
public int sumRange(int left, int right) {
return preSum[right + 1] - preSum[left];
}
}
new 一個新的數組 preSum 出來，preSum[i] 記錄 nums[0..i-1] 的累加和。如果我想求索引區間 [1, 4] 內的所有元素之和，就可以通過 preSum[5] - preSum[1] 得出。這樣，sumRange 函數僅僅需要做一次減法運算，避免了每次進行 for 循環調用，最壞時間復雜度為常數 O(1)。
4.練習題
- 和為K的子數組
- 區間子數組個數(中等)
- 水果成籃(中等)
二、差分
1.差分數組定義
真實數組a = {a[1]、a[2]、…、a[n]} // 各點真實數據
差分數組df = {df[1]、df[2]、…、df[n]} // 各點數據的變更值
df[i] = a[i] - a[i-1] // 差分數組各點數據為真實數據的變更值
a[i] = df[1] + df[2] …+ df[i] // 差分數組的前綴和即為真實數組
a[i] = a[i-1] + df[i] // 真實數據也可以從上一點數據+變更值求出
2.差分算法解題模板（題目中給出的往往為數據變更點）
- 初始化差分數組：根據數據變更點構造差分數組，常用map<int, int> （key: 變更點， value：變更值）
- 根據差分數組求原始數組：對差分數組求前綴和，求出的即為原始數組
- 根據原始數組判斷結果
使用場景：
差分算法題型特征：在一段區間內（例如時間/站點）給出數據變更點（例如上下車/占用釋放等），需要感知變更后數據值。
- 一維差分：主要用於對子數組（或區間）的元素整體加減固定值，特別是子數組較多時，可提高性能。
- 二維差分：對子矩陣元素整體進行加減處理，在子矩陣較多時，為提高性能，可以考慮用差分數組來處理。
2.練習題
1094.拼車：本題為一段區間給出數據變更的點（上車/下車點+人數），需要求出變更后的數據（人數）是否滿足（車容量），典型的差分算法特征，根據變更數據采用map構造差分數組，差分數組求前綴和還原各時間點真實數據，判斷真實人數是否滿足
1109.航班預訂統計：經典差分問題，本題與在拼車的基礎上疊加了返回值需要返回其真實數據數組，在上題基礎上僅差異在結果的處理。題型關鍵為：一段區間（城市）給出數據變更的點（預定人數），需要求出變更后的數據（各站點人數），典型的差分算法特征
253.會議室Ⅱ：題型關鍵為：一段區間（時間）給出數據變更的點（會議室預定/釋放），需要求出變更后的數據（會議室數量），典型的差分算法特征
參考鏈接：
【1】得嘞,一文把前綴和給扒的干干凈凈
【2】小而美的算法技巧：前綴和數組