最大公約數

 

一、輾轉相除法

　　

inline int GCD(int x,int y)
{
    int r=x%y;
    while(r) x=y,y=r,r=x%y;
    return y;
}

　　原理證明

• 因為a=b+c,於是b,c的公約數也必然是a的約數,假設(b,c)=e,
• ((b,c)=e表示e為b和c的最大公約數)那么有elb+c,即ela，
• 根據"d是b,c的公約數"知道dle,,
• 又因為e也是a,b的公約數,eld,綜上有e=d
• 可見(a,b)=(b,c)=d

 

二、二進制算法

可將x,y分為六種情況進行討論：

1. 若x=0或y=0:返回y或x；
2. 若x<y:交換x,y;
3. 若x為偶數且y為偶數:gcd（x/2,y/2）;
4. 若x為偶數且y為奇數:gcd(x/2,y);
5. 若x為奇數且y為偶數:gcd(x,y/2);
6. 若x為奇數且y為奇數:gcd(x-y,y);

inline int gcd(int x,int y)
{
    int n=0,m=0;
    while(!(x&1)) ++n,x>>=1;
    while(!(y&1)) ++m,y>>=1;
    n=min(n,m);
    while(1)
    {
         if(x<y) swap(x,y);
         if(!(x-=y)) return y<<n;
         while(!(x&1)) x>>=1;
    }
} 

 

三、最小公倍數

　　幾個數的最小公倍數為幾個數的乘積除以這幾個數的最大公約數

四、擴展歐幾里得

　　擴展歐幾里德算法是用來在已知a, b求解一組x，y，使它們滿足貝祖等式(裴蜀定理，博客整除這一章有介紹)： ax+by = gcd(a, b) =d（解一定存在，根據數論中的相關定理）。擴展歐幾里德常用在求解模線性方程及方程組中。

　　公式表述1

• gcd(a,b)=gcd(b,a mod b)
• 證明：a可以表示成a = kb + r，則r = a mod b
• 假設d是a,b的一個公約數，則有
• d|a, d|b，而r = a - kb，因此d|r
• 因此d是(b,a mod b)的公約數
• 假設d 是(b,a mod b)的公約數，則
• d | b , d |r ，但是a = kb +r
• 因此d也是(a,b)的公約數
• 因此(a,b)和(b,a mod b)的公約數是一樣的，其最大公約數也必然相等，得證

　　公式表述2

• 首先根據裴蜀定理得，解一定存在
• 其次因為gcd(a,b)=gcd(b,a%b),所以p*a+q*b=gcd(b,a%b)=p*b+q*a%b=p*b+q*(a-a/b*b)=q*a+(p-a/b*q)*b，這樣它就把a與b的線性組合簡化為b與a%b的線性組合了
• 假根據前面的結論，a，b都在減小，當b減小到0時，得出p=1，其遞歸會最初的p,q就行了

//其中x,y為滿足x*a+y*b=gcd(a,b)的解，ret為gcd(a,b);
int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
    int ret,temp;
    if(!b) 
    {
        x=1,y=0;
        return a;
    }
    ret=exgcd(b,a%b,x,y);
    temp=x,x=y,y=temp-a/b*y;
    return ret;
}

 

五、求解線性方程

　　定理一：對於方程a*x+b*y=c,該方程等價於a*x≡c(mod) b,有整數解的充分必要條件是：c%GCD（a,b）=0。

　　定理二：若GCD(a,b)=1,且x0,y0為a*x+b*y=c的一組解，則方程的任意解可以表達為  x=x0+b*t,y=y0-a*t,對於任意整數t皆成立

　　根據定理一，我們可以求出方程a*x0+b*y0=gcd(a,b)的一組解,x0,y0,兩邊同時除以GCD（a,b）再乘以c就得到原方程的一個解

　　根據定理二，我們就可以求出一組特解(最小整數解),t=b/gcd(a,b),x=(x%t+t)%t;