最大公約數的算法

算法的原理：

　　對於輾轉相除法：i和j的最大公約數，也就是i和j都能夠除斷它。換句話講，就是i比j的n倍多的那個數k(i = j*n + k，即i % j = k)應該也是最大公約數的倍數。所以就能轉換成求k和j的最大公約數。同理，對於更相減損術，同樣的道理，i比j大的部分也是最大公約數的倍數。

 

代碼：

　　

/**
 * 求最大公約數算法匯總
 *
 */
public class GCD {
    public static void main(String[] args) {
        GCD gcd = new GCD();
        gcd.gcd1(43, 45);
        gcd.gcd2(64, 80);
        gcd.gcd3(45, 81);
    }
    
    
    /**
     * 第三種方法：更相減損術 + 輾轉相除法，即
     * 當a和b均為偶數，gcb(a,b) = 2*gcb(a/2, b/2) = 2*gcb(a>>1, b>>1)
     * 當a為偶數，b為奇數，gcb(a,b) = gcb(a/2, b) = gcb(a>>1, b)
     * 當a為奇數，b為偶數，gcb(a,b) = gcb(a, b/2) = gcb(a, b>>1)
     * 當a和b均為奇數，利用更相減損術運算一次，gcb(a,b) = gcb(b, a-b)， 此時a-b必然是偶數，又可以繼續進行移位運算。
     */
    private void gcd3(int i, int j) {
        System.out.println("The greatest common divisor is:" + doubleGcd(i, j));
    }
    
    private int doubleGcd(int i, int j) {
        if (i % j == 0) {
            return j;
        } 
        
        if ((i&1) == 0 && (j&1) == 0) {
            // 都是偶數
            return doubleGcd(i >> 1, j >> 1) << 1;
        } else if ((i&1) == 0 && (j&1) != 0) {
            // i為偶數,j為奇數
            return doubleGcd(i >> 1, j);
        } else if ((i&1) != 0 && (j&1) == 0) {
            // i為奇數,j為偶數
            return doubleGcd(i, j >> 1);
        } else {
            // i和j都為奇數
            return doubleGcd(i, i > j ? i - j : j - i);
        }
    }


    /**
     * 第二種方法：九章算術的更相減損術，即如果i>j,那么先用i-j得到其差k.然后將問題轉換成求k和m的最大公約數.依此類推,直到差為0.
     * 這個方法也有一個問題,就是如果i和j想差的比較大,那么這個方法存在較高的時間復雜度.
     */
    private void gcd2(int i, int j) {
        if (i < j) {
            gcd2(j, i);
            return;
        }
        
        int k = i - j;
        if (k == 0) {
            System.out.println("The greatest common divisor is:" + j);
            return;
        } else {
            if (k >= j) {
                gcd2(k, j);
            } else {
                gcd2(j, k);
            }
        }
    }

    /**
     * 第一種方法：輾轉相除法, 即如果i>j, 那么先用i%j得到余數k.將問題轉換成求k和m的最大公約數.依此類推,直到余數為0.
     * 該方法有一個比較大的問題問題是取模的性能。
     */
    private void gcd1(int i, int j) {
        // 確保n>m
        if (i < j) {
            gcd1(j, i);
            return;
        }
        
        int k = i%j;
        if (k == 0) {
            System.out.println("The greatest common divisor is:" + j);
            return;
        } else {
            if (k >= j) {
                gcd1(k, j);
            } else {
                gcd1(j, k);
            }
        }
    }
}