子集生成的三種算法

子集生成算法：

給定一個集合，枚舉所有可能的子集。暫時討論沒有重復元素的情況。

1 增量構造法

一次選出一個元素放到集合中，和前面不同，由於A中的元素個數不確定，每次遞歸都要輸出當前集合。另外遞歸邊界也不需要顯式確定-如無法添加元素，就不會遞歸了。

注意：定序，規定集合A的所有元素的編號從小到大排列，就不會把集合{1,2}按照{1,2}和{2,1}輸兩次了

代碼：

void print_subset(int n,int*A,int cur)
{
    for(int i = 0;i<cur;i++)
    {
        cout << A[i] << " ";
    }
    cout << endl;
    int s = cur? A[cur-1]+1 : 0;//確定當前元素最小可能值
    for(int i = s;i<n;i++)
    {
        A[cur] = i;
        print_subset(n,A,cur+1);
    }
}

將代碼稍作修改后就可以輸出P中的元素了，因為把1~n的子集放在A內，A就可以當P的子集的元素的索引了

代碼：

void print_subset_2(int n,int*P,int*A,int cur)
{
    for(int i = 0;i<cur;i++)
    {
        cout << P[A[i]] << " ";
    }
    cout << endl;
    int s = cur?A[cur-1]+1:0;
    for(int i = s;i<n;i++)
    {
        A[cur] = i;
        print_subset_2(n,P,A,cur+1);
    }
}

2 位向量法

構造一個位向量B[i]，而不是直接構造子集A本身，其中B[i]=1，當且僅當i在子集A中。

代碼：

void print_subset_3(int n,int*B,int cur)
{
    if(cur==n)
    {
        for(int i = 0;i<n;i++)
        {
            if(B[i]) cout << i << " ";
        }
        cout << endl;
        return;
    }
    B[cur] = 1;
    print_subset_3(n,B,cur+1);
    B[cur] = 0;
    print_subset_3(n,B,cur+1);
}

所有元素判斷完是否選擇后才是一個完整的子集。現在解答樹上有2047個節點

這是一個n+1層二叉樹（cur從0到n），第0曾有1個節點，第二層有兩個節點（第一位是否選擇），...，總數為1+2+...+2^n=2^(n+1)-1。

也可改進成輸出P的形式

代碼：

 

void print_subset_4(int n,int*P,int*B,int cur)
{
    if(cur==n)
    {
        for(int i = 0;i<n;i++)
        {
            if(B[i]) cout << P[i] << " ";
        }
        cout << endl;
        return;
    }
    B[cur] = 1;
    print_subset_4(n,P,B,cur+1);
    B[cur] = 0;
    print_subset_4(n,P,B,cur+1);
}

 

3 二進制法

思想上與位向量法近似。

代碼：

void print_subset(int n,int s)
{
    for(int i = 0;i<n;i++)
    {
        //cout << s << " " << i << " " << (s&(1<<i)) << endl;
        if(s&(1<<i)) cout << i << " ";
    }
    cout << endl;
}
void print_subset_5(int n)
{
    for(int i = 0;i<(1<<n);i++)
    {
        //cout << i << endl;
        print_subset(n,i);
    }
}

可能理解起來有點繞，主要是用十進制的二進制表示和十進制的數值本身有點混

舉個栗子：

現在n=4

那么在print_permutation_5里面我有循環了

0-15,二進制位從0-1111；它就相當於位向量，提供子集中元素出現的位置

接着對於每一個上面的數來依次與0~3做位移運算后得到的1,2,4,8，（二進制為0001,0010,0100,1000），來按位與，實際上是看0-3這個數在子集中是否出現

由於0-15已經含了對於元素個數為4的集合的所有子集的可能情況，那么與之后就得到該出現的子集元素。

代碼匯總：

#include <iostream>
#define max_n 10005
using namespace std;
int A[max_n];
int B[max_n];
//增量構造法
void print_subset(int n,int*A,int cur)
{
    for(int i = 0;i<cur;i++)
    {
        cout << A[i] << " ";
    }
    cout << endl;
    int s = cur? A[cur-1]+1 : 0;//確定當前元素最小可能值
    for(int i = s;i<n;i++)
    {
        A[cur] = i;
        print_subset(n,A,cur+1);
    }
}
void print_subset_2(int n,int*P,int*A,int cur)
{
    for(int i = 0;i<cur;i++)
    {
        cout << P[A[i]] << " ";
    }
    cout << endl;
    int s = cur?A[cur-1]+1:0;
    for(int i = s;i<n;i++)
    {
        A[cur] = i;
        print_subset_2(n,P,A,cur+1);
    }
}
//位向量法
void print_subset_3(int n,int*B,int cur)
{
    if(cur==n)
    {
        for(int i = 0;i<n;i++)
        {
            if(B[i]) cout << i << " ";
        }
        cout << endl;
        return;
    }
    B[cur] = 1;
    print_subset_3(n,B,cur+1);
    B[cur] = 0;
    print_subset_3(n,B,cur+1);
}
void print_subset_4(int n,int*P,int*B,int cur)
{
    if(cur==n)
    {
        for(int i = 0;i<n;i++)
        {
            if(B[i]) cout << P[i] << " ";
        }
        cout << endl;
        return;
    }
    B[cur] = 1;
    print_subset_4(n,P,B,cur+1);
    B[cur] = 0;
    print_subset_4(n,P,B,cur+1);
}
//二進制法
void print_subset(int n,int s)
{
    for(int i = 0;i<n;i++)
    {
        //cout << s << " " << i << " " << (s&(1<<i)) << endl;
        if(s&(1<<i)) cout << i << " ";
    }
    cout << endl;
}
void print_subset_5(int n)
{
    for(int i = 0;i<(1<<n);i++)
    {
        //cout << i << endl;
        print_subset(n,i);
    }
}
int main()
{
    int P[] = {1,2,3,4};
    //print_subset_2(4,P,A,0);
    //print_subset_3(4,B,0);
    //print_subset_4(4,P,B,0);
    print_subset_5(4);
    return 0;
}